2009年湖州市初三数学竞赛试题

2009年初三数学竞赛试题（2009年12月27日上午9：00—11：00）题号一二三总分1－89－1415161718得分评卷人复查人答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线．3．可以用计算器一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1.下列各对数的大小比较，正确的是()A．34.14.1B．41)5.0(3C．2332D．35572.已知,11aa那么代数式aa1的值为（）A.25B.－25C.－5D.53．甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地,已知乙比甲先出发,他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示,给出下列说法:(1)他们都骑行了20km;(2)乙在途中停留了0.5h;(3)甲、乙两人同时到达目的地;(4)相遇后,甲的速度小于乙的速度.根据图象信息,以上说法正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个得分评卷人甲乙2000.5122.5s(km)t（h)第3题图4．在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE＝6．那么△ABC的面积等于（）A．12B．14C．16D．185．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．不存在6．下图中阴影部分的面积与算式│-34│+（12）2+2-1的结果相同的是（）7．观察数列：1，2，5，12，29，70，169，□，…的规律性，则根据上述规律，□所表示的数应是（）A．239B．250C．389D．4088．如图，将矩形ABCD纸片对折并重新放平，得折痕MN，再将纸片沿AE折叠，使点B落在折痕MN上。若AB=3，则折痕AE的长为()A．2B．343DAEBC第4题图第22题lPCBA第5题图B′′ABCDNME第8题图C．323D．32二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．关于x的方程022axx有唯一的实数解，则a________.10．22221511100100122233100100=__________.11．已知x、y为正整数(x≥y)，且满足xy–(x+y)=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数。试写出满足上述条件的数对(x，y)（写出一对即可）．12.Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．）13．试写出关于点P（1，1）成中心对称的两条抛物线的解析式；14.观察下列数表：第一列第二列第三列第四列第一行0246…第二行2468…第三行46810…第四行681012……………根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为______，第n行与第n列交叉点上的数应为______．(用含有正整数n的式子表示)ABCPEFM第12题图三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．解不等式0321xxx．16．某乡AB，两村盛产柑桔，A村有柑桔200吨，B村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到CD，两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往CD，两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往CD，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，AB，两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为Ay元和By元．（1）请填写下表，并求出AByy，与x之间的函数关系式；CD总计Ax吨200吨B300吨总计240吨260吨500吨（2）试讨论AB，两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．得分评卷人得分评卷人收地运地17．如图，已经矩形ABCD中，延长BC到E，使CE＝CA，F是AE的中点，求证：BF⊥FD．ABCEFD18．已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设△AQP的面积为y（2cm），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．P图②AQCPB图①AQCPB2009年初三数学数学竞赛试题参考答案及评分建议一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）题次12345678答案BDCCBBDA二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．ａ=±4910．10119911．x=9，y=3或x=5，y=5.12．5613．略14.20，4(ｎ－1)三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．(12分)解：（1）当x＜－2时，得－3x－4＞0，∴34x∴x＜－2（2）当－2≤x≤1时，得－x＞0，x＜0∴－2≤x＜0（3）当x＞1时，得x－2＞0，x＞2∴x＞2综上所述，可得原不等式的解是x＜0或x＞216．(12分)解：CD总计Ax吨(200)x吨200吨B(240)x吨(60)x吨300吨总计240吨260吨500吨55000(0200)Ayxx≤≤，34680(0200)Byxx≤≤．（2）当AByy时，550003468040xxx，；当AByy时，550003468040xxx，；当AByy时，550003468040xxx，．收地运地当40x时，AByy即两村运费相等；当040x≤时，AByy即B村运费较少；当40200x≤时，AByy即A村费用较少．（3）由4830By≤得346804830x≤50x≤设两村运费之和为y，AByyy．即：29680yx．又050x≤≤时，y随x增大而减小，当50x时，y有最小值，9580y最小值（元）．答：当A村调往C仓库的柑桔重量为50吨，调往D仓库为150吨，B村调往C仓库为190吨，调往D仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．17．（12分）证明：延长DF交BE于M，连结BD∵AD∥ME，∴∠DAF＝∠MEF又AF＝FE，且∠AFD＝∠EFM∴△AFD≌△EFM∴DF＝FM∵BD＝AC＝CE＝CM＋ME＝CM＋AD＝CM＋BC＝BM即BD＝BM，且DF＝FM∴BF⊥FD18．解：（1）由题意：BP＝tcm，AQ＝2tcm，则CQ＝(4－2t)cm，∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm∴AP＝（5－t）cm，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴AP∶AB＝AQ∶AC，即（5－t）∶5＝2t∶4，解得：t＝107∴当t为107秒时，PQ∥BC………………2分（2）过点Q作QD⊥AB于点D，则易证△AQD∽△ABC∴AQ∶QD＝AB∶BC∴2t∶DQ＝5∶3，∴DQ＝65t∴△APQ的面积：12×AP×QD＝12（5－t）×65t∴y与t之间的函数关系式为：y＝2335tt………………5分（3）由题意：当面积被平分时有：2335tt＝12×12×3×4，解得：t＝552当周长被平分时：（5－t）＋2t＝t＋（4－2t）＋3，解得：t＝1∴不存在这样t的值………………8分（4）过点P作PE⊥BC于E易证：△PBE∽△ABC，当PE＝12QC时，△PQC为等腰三角形，此时△QCP′为菱形∵△PAE∽△ABC，∴PE∶PB＝AC∶AB，∴PE∶t＝4∶5，解得：PE＝45t∵QC＝4－2t，∴2×45t＝4－2t,解得：t＝109∴当t＝109时，四边形PQP′C为菱形此时，PE＝89，BE＝23，∴CE＝73………………10分在Rt△CPE中，根据勾股定理可知：PC＝22PECE＝2287()()93＝5059∴此菱形的边长为5059cm………………12分