2009年全国初中数学竞赛江西赛区预赛试题及答案

3b23a0b-a23b23a0b-a20b-a23-a20b-a2b2-6b-a23-a2yb-a2b2-6x＞＜＜或＜＞＞即＞＞由已知，得种情况共，，或种情况共有，，，，3654b1a;102521b65423a2009年全国初中数学江西赛区预赛试题（九年级）（2009年3月22日上午9：30~11：30）喻老师整理一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）以下每道小题均给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填，多填或错填都的0分）1、已知非零实数a、b满足|2a－4|+|b+2|+(a-3)b2+4=2a，则a+b等于（）A、－1B、0C、1D、2解有题设知a≥3，题设等式化为|b+2|+(a-3)b2=0，于是a=3，b=－2，从而a+b=1，选C2、如图所示，菱形ABCD边长为a，点O在对角线AC上一点，且OA=a，OB=OC=OD=1,则a等于（）A、5+12B、5-12C、1D、2解：∵△BOC∽△ABC，∴B0AB=BCAC即1a=aa+1∴a2－a－1=0由于a＞0，解得a=5+12，选A3、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则关于x、y的方程组2y2x3byax只有正数解的概率为（）A、112B、29C、518D、1336解当2a－b=0时，方程组无解当2a－b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为1336选D4、如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数图象如图2所示，则△ABC的面积为（）A、10B、16C、18D、32解根据图象可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求的AB=8，故S△ABC=12×8×4=16选B5、关于x、y的方程x2+xy+y2=29的整数解（x、y）的组数为（）A、2组B、3组C、4组D、无穷多组解可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2+yx+（2y2－29）=0由于该方程有整数根，根据判别式△≥0，且是完全平方数由△=y2－4(2y2－29)=－7y2+116≥0解得y2≤1167≈16.57y2014916△11610988534显然只有y2=16时，△=4是完全平方数，符合要求当y=4时，原方程为x2+4x+3=0，此时x1=－1，x2=－3当y=－4时，原方程为x2－4x+3=0，此时x3=1，x4=3所以，原方程的整数解为4-y3x4-y1x4y3-x4y1-x44332211；；；选C二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将能行驶；解设每个轮胎报废时总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为k5000，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为k3000，又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm，分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有k23000yxk5000yxkk3000kx5000kyk3000ky5000kx）（）（；两式相加得则x+y=3750∴填37507、已知线段AB的中点为C，以点C为圆心，AB长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD=AC；再以点D为圆心，DA的长位半径作圆，与⊙A分别相交于点F、G两点，连接FG交AB于点H，则AHAB的值为；解如图，延长AD与⊙D相交于点E，连接AF，EF。由题设知AC=13AD，AB=13AE,在△FHA和△EFA中，∠EFA=∠FHA=90°，∠FAH=∠EAF∴Rt△FHA∽Rt△EFA，AHAF=AFAE,而AF=AB,∴AHAB=13，填138、已知a1，a2、a3、a4、a5满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程（x－a1）（x－a2）（x－a3）（x－a4）（x－a5）=2009的整数根，则b的值为；解∵（b－a1）（b－a2）（b－a3）（b－a4）（b－a5）=2009,且a1，a2、a3、a4、a5是五个不同的整数，∴（b－a1），（b－a2），（b－a3），（b－a4），（b－a5），也是五个不同的整数，又∵2009=1×（－1）×7×（－7）×41，∴（b－a1）+（b－a2）+（b－a3）+（b－a4）+（b－a5）=41，又∵a1+a2+a3+a4+a5=9∴可得b=10填109、如图所示，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线，若AC=14,BC=20，CD=12，则CE的长等于解如图，有勾股定理知AD=9,BD=16，所以AB=AD+BD=25故由勾股定理知△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°作EF⊥BC，垂足为F，设EF=x，由∠ECF=12∠ACB=45°，得CF=x，于是BF=20－x，由于EF∥AC，所以EFAC=BFBC,即x15=20-x20，解得x=607∴CE=2x=6072填607210、10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若抱出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是；解设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应该是8－x，于是报7的人心里想的数是12－（8－x）=4+x，报9的人心里想的数是16－（4+x）=12－x，报1的人心里想的数是20－（12－x）=8+x，报3的人心里想的数是4－（8+x）=－4－x∴x=－4－x，解得x=－2填－2三、解答题（共4小题，每题20分，共80分）11、函数y=x2+（2k－1）x+k2的图像与x轴的两个交点是否都在直线x=1的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x=1的右侧时k的取值范围？解:不一定，例如，当k=0时，函数的图像与x轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线x=1的右侧.设函数与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1+x2=－（2k－1），x1·x2=k2当且仅当满足如下条件02-x(1-x02-x1-x02121）＞）（）＞（）（△时，抛物线与x轴的两交点都在直线x=1的右侧，……10分由0k2-k21-k41k0k2k01-k2-04)1-k2222＞或＜＜解之＞＞（k……15分∴当k＜－2时，抛物线与x轴的两个交点在直线x=1的右侧……20分12、在平面直角坐标系xoy中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完成平方数的点称为“好点”，求二次函数y=（x－90）2－4907的图像上的所有“好点”的坐标.解设y=m2，（x－90）2=k2，m、k都是非负整数，则K2－m2=7×701=1×4907即（k－m）（k+m）=7×701=1×4907……10分则有6017209y2364-x6017209y2544x120409y264-x120409y444x2453m2454k347m354k1m-k4907mk7m-k701mk44332211；；；或解得或故“好点”共有4个，它们的坐标是：（444，120409）（－264，120409）（2544，6017209）（－2364，6017209）……20分13、如图，给定锐角△ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过电D、E分别作l的垂线，垂足分别为F、G，试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论？解法1结论是DF=EG，下面给出的证明。∵∠FCD=∠EAB，∴Rt△FCD∽Rt△EAB，于是可得……5分DF=BE·CDAB同理可得EG=AD·CEAB……10分又∵tan∠ACB=ADCD=BECE,∴BE·CD=AD·CE，于是可得DF=EG……20分解法2结论是DF=EG，下面给出证明……5分连接DE，∵∠ADB=∠AEB=90°，∴A、B、D、E四点共圆，故∠CED=∠ABC……10分又l是⊙O的过点C的切线，∴∠ACG=∠ABC……15分∴∠CED=∠ACG，于是DE∥FG，故DF=EG……20分14、n个正整数a1，a2，……an满足如下条件：1=a1＜a2＜a3＜……＜an=2009，且a1，a2，……an中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数，求n的最大值解设a1，a2，……an中去掉ai后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数bi（i=1，2，……n，即bi=1)aaan21nai（于是，对于任意的1≤i＜j≤n，都有bi－bj=aj-ain-1从而，n－1∣（aj－ai）……5分由于b1－bn=an-a1n-1=2008n-1是正整数，故n－1∣23×251……10分由于an－a1=（an－an－1）+（an－1－an－2）+……+（a2－a1）≥+(n－1)+(n－1)+……（n－1）=（n－1）2∴（n－1）2≤2008，于是n≤45，结合n－1∣23×251，∴n≤9，……15分另一方面，令a1=8×0+1，a2=8×1+1，a3=8×2+1，……a8=8×7+1，a9=8×251+1，则这9个数满足题设要求，综上所述，n的最大值为9……20分