2010年上海市TI杯高二年级数学竞赛

12010年上海市TI杯高二年级数学竞赛个人赛试题（2010年5月22日下午1:30～3:00）题号一二三四总分得分评卷人复卷人一、填空题（共8小题，前4小题每题6分，后4小题每题9分，满分60分）1、假设地球绕着连接北极和南极的直线为轴自转一周所需的时间是23小时56分4秒,又设地球的赤道半径为6378.1千米,那么当你站在赤道位置上随着地球自转,绕轴旋转的线速度是米/秒（精确到米,π取3.1416）．2、设357921762()3153152835xxxxTxx=++++，则4Tπ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=（精确到610−）．3、天文学中,常用“秒差距”作为距离单位.如果在一个直角三角形ABC中,90ACB∠=°,81.49610CB=×千米,即边CB的长等于太阳(C)与地球(B)之间的平均距离,那么当BAC∠的大小为1秒（一度等于60分，1分等于60秒）时,斜边AB的长为1“秒差距”.由此可知,1“秒差距”=千米（用科学记数法表示,保留4位有效数字）．4、方程lgsin2xx=的实数根的个数是．5、方程113355124124nn⎛⎞⎛⎞+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠的所有正整数解n=．6、正整数,ab均小于500,且满足222(1)aab++=,则这样的数对(,ab)共有对．7、已知直线yx=与余弦曲线cosyx=相交于点A，那么坐标原点O到点A的距离OA=(精确到410−)．8、一个四位数的各位数码都是非零的偶数,且它的算术平方根恰是一个二位数,该二位数的两个数码也都是非零偶数,则这个四位数是．学校姓名年级性别准考证号装订线2解答以下三题必须写出解题的必要步骤．二、（本题满分20分）如图，已知点M是正方形ABCD的边DC所在的直线上的一动点，求MAMB的最大值．【解】MDCBA3三、（本题满分20分）已知抛物线C：212yx=，点1122(,0),(,0)AxAx是x轴上的两点（其中12120,0xxxx+≠≠），过12,AA分别作x轴的垂线，与抛物线C分别相交于点12,AA′′，直线12AA′′与x轴相交于点33(,0)Ax,这样我们就称12,xx确定了3x.同样可由23,xx确定4x,….已知16x=,22x=,求6x的值．【解】4四、（本题满分20分）设11a=,21,1,2,nnaann+=+=L．(1)求证:[]1nan=−,2,3,n=L;(2)求和:22212naaa⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦L.这里,[]x表示不超过实数x的最大整数．【解】装订线