2011年广州市初中数学青年教师解题比赛

013141516171819秒频率/组距0.360.340.180.060.040.02OBAP2011年广州市初中数学青年教师解题比赛决赛试卷2011－4－10本试卷共8页，23小题，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上．）1．已知集合{}{12}AxxaBxx，，且UABRð，则实数a的取值范围是（A）1a≤（B）a≥1（C）a≤2（D）2a≥2．数列{}na的前n项和为nS，若1(1)nann，则5S等于（A）1（B）56（C）16（D）1303．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为（A）0.9，35（B）0.9，45（C）0.1，35（D）0.1，454．已知曲线23ln4xyx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（A）3（B）2（C）3或2（D）3或25.如图，PA、PB切O于A、B，50P，点C是O上异于A、B的任意一点，则ACB的度数为（A）65（B）115（C）65或115（D）无法确定6．已知函数xf为R上的减函数，则满足11fxf的实数x的取值范围是(A)1,1(B)1,0(C)1,00,1(D),11,7．设m是不小于1的实数，使得关于x的方程222(2)330xmxmm有两个不相等的实数根1x、2x．若22126xx，则m的值是（A）5172（B）5172（C）5172（D）1第14题图NMDCBA第14题8.如图是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图的新几何体，则该新几何体的体积为（）cm3．（A）48（B）50（C）58（D）609．给定点M(-1,2),N(1,4),点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是(A)21(B)43(C)1(D)210．已知a、b、c为正整数，且19222acbcabcba，那么cba的最小值等于(A)11(B)10(C)8(D)6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在答题卷上．）11．函数0)2()3lg(1xxy中，自变量x的取值范围是______．12．设变量xy，满足约束条件30023xyxyx≥，≥，≤≤，则目标函数2xy的最小值为．13．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．则取出的4个球均为黑球的概率是__________．14．如图，平行四边形ABCD中，AM⊥BC于M,AN⊥CD于N，已知AB=10,BM=6,MC=3，则MN的长为_________．15．若()fx表示3x和2283xx中较大者，则函数()fx的最小值是．16．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011……………………………………………2011年广州市初中数学青年教师解题决赛答题卷2011-4-10一、选择题答案（每小题4分，共40分）题号12345678910答案二、填空题答案（每小题5分，共30分）11．12．13．14．15．16．三、解答题（共7小题，满分80分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）17．（本小题满分8分）已知)(xfy是定义在R上且关于y轴对称的函数，当0x时，32)(2xxxf．（1）用分段函数形式写出y)(xf的解析式；（2）求)(xfy的单调区间及函数的最值．18．（本小题满分8分）已知向量m(3cossin,1)xx，n(2cos,3),,,xaxaaR为常数．（1）求y=mn关于x的函数关系式()yfx；（2）若0,2x时，()fx的最小值为－2，求a的值．区学校姓名考号19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为矩形，DA平面ABE,2AEEBBC，BF平面ACE于点F，且点F在CE上，点M是线段AB的中点．（1）求证：AEBE；（2）求三棱锥DAEC的体积；（3）试在线段CE上确定一点N，使得//MN平面DAE．[来20.（本小题满分12分）正方形ABCD中,点P为边AD上的一点,DE⊥CP于E,延长CP到F,使得CE=EF,连结DF、AF，过点D作∠ADF的角平分线，交CF于H，连结BH.(1)求证:DE=EH；(2)求证:BH∥AF.HPFEDCBA第20题密封线密封线21．（本小题满分12分）如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形．（1）求这个扇形的面积（结果保留）．（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（3）当O的半径(0)RR为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．③22.（本小题满分14分）已知A是双曲线xky(0k)在第一象限的图象上的一点,O为坐标原点，直线OA交双曲线于另一点C.(1)当OA在第一象限的角平分线上时,将OA向上平移23个单位后与双曲线在第一象限的图象交于点M，交y轴于点N，若2OAMN（如图1）,求k的值；(2)若1k,点B在双曲线的第一象限的图象上运动，点D在双曲线的第三象限的图象上运动,且使得ABCD是凸四边形时（如图2）,求证:∠BCD=∠BAD.图1NMyxCOA图2yxBODCA密封线密封线23．（本小题满分14分）如图，已知2(10)(0)2AE，，，，以点A为圆心，以AO长为半径的圆交x轴于另一点B，过点B作BFAE∥交A于点F，直线FE交x轴于点C．（1）求证：直线FC是A的切线；（2）求点C的坐标及直线FC的解析式；（3）有一个半径与A的半径相等，且圆心在x轴上运动的P．若P与直线FC相交于MN，两点，是否存在这样的点P，使PMN△是直角三角形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．xyABCOFE2011年广州市初中数学青年教师解题决赛试题参考答案及评分标准一、选择题答案（每小题4分，共10小题，共40分）题号12345678910答案DBAACCCDCB注：9．选C[解析]：设直线MN（MNl：3xy）交x轴于点A,则点P，必须满足ANAMAP2，易计算得，3Ax，4AP．10．选B[解析]：不妨设cba，mba，ncb，m、n为非负整数，nmca，01922nmnm，由Δ≥0，可得，6n，当0n，1，4，5时，m无解，2n时，m3；3n时，2m，①当2n，m3时，ba3，2bc1，3b，6a，1013bcba，此时，取6a，3b，1c时，10cba最小；②当3n，2m时，同理可求，得,11cba6a，4b，1c，综上，最小值10cba．二、填空题答案（每小题5分，共6小题，共30分）11．3,4)(4,)（.12.23.13.51.14.5734.作MH⊥AN于H,AH=524,HN=512,MH=532．15.3.16．21n，32.三、解答题答案（共7小题，满分80分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）17.解：（1）由已知得当0x时，2()23fxxx．∴2223,0,()23,0.xxxfxxxx……………………………………………………………………………………3分（2）单调递减区间是]1,0[],1,(，单调递增区间是),1[],0,1[．…………………………………………6分最小值是4，没有最大值．…………………………………………………………………………………8分18.解：（1）2()(3cossin)2cos323cos2sincos3fxxxxaxxxa3cos2sin22cos(2)6xxaxa．……………………………………………4分（2）73[0,],2,1cos(2)266662xxx，2()3afxa．……………………………………………………………………………………6分min()2fxa，由题意得22a0a．……………………………………………………………8分19．解：（1）证明：由AD平面ABE及//ADBC，∴BC平面ABE，∴AEBC．而BF平面ACE，∴BFAE，又BCBFB，∴AE平面BCE，又BE平面BCE，∴AEBE．………………………………………………3分（2）连接EM，∵M为AB中点，AE=EB=2，∴ABEM．又DA平面EMABE，ABE平面，∴EMDA，所以EM平面ACD．……………………………………………………………………………………5分由已知及（1）得22,221ADCSABEM．故1422233DAECEADCVV．……………………………………………………………………7分（3）取BE中点G，连接FMGFMG,,．∵BF平面ACE，∴CEBF，又BCEB，所以F为CE中点，∴GF//BC．又∵BC//AD，∴GF//AD．所以GF//平面ADE．………………………………9分同理//MG平面ADE，所以平面GMF//平面ADE．又MF平面MGF，则//MF平面ADE．………………………………………………………………12分20.证明:(1)∵DE⊥CP且CE=EF，∴DC=DF,∠FDE=21∠FDC，∠HDE=∠FDE-∠FDH=21∠FDC-21∠FDA=21∠ADC=45°．………………………………………………4分∴∠EHD=∠HDE=45°．……………………………………………………………………………………………5分∴DE=EH．(2)延长DH交AF于点O，将ΔDEC绕点C逆时针旋转90°到ΔBMC的位置，连结ME．∴ΔDEC≌ΔBMC．∴DE=BM,∠DCE=∠BCM,∵∠DCE+∠ECB=90°，∴∠BCM+∠ECB=90°．∴BM∥CH．…………………………………………………8分在ΔEMC中，∠ECM=90°，MC=CE，∴∠CEM=45°．由（1）知，DE=EH=BM，∴BMEH为平行四边形∴BH∥EM．又由（1）知DC=DF，则DA=DF，DO为∠ADF的角平分线，∴DO⊥AF．又对顶角∠EHD=∠FHO，∴∠AFH=∠HDE=45°．∴∠AFH=∠MEC=45°．MOABCDEFPH第20题∴AF∥ME．∴AF∥BH.………………………………………………………………………………………………………12分21.解：（1）连接BC，由勾股定理求得：2ABAC，213602nRS.……………………………3分（2）连接AO并延长，与弧BC和O交于EF，，22EFAFAE，弧BC的长：21802nRl．设圆锥的底面半径为r．222r，圆锥的底面直径为：222r．……………………………………………………………………………6分第21题2222，不能在余料③中