2011年全国初中数学联赛决赛试卷及其答案

2011年全国初中数学联赛决赛试卷（4月10日上午8：45——11：15）考生注意：1．本试卷共三大题（13个小题），全卷满分140分．2．用圆珠笔、签字笔或钢笔作答．3．解题书写不要超出装订线．4．不能使用计算器．一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（）A．42条B．54条C．66条D．78条2．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E．若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．设方程()()0xaxbx的两根是c，d，则方程()()0xcxdx的分根是（）A．a，bB．－a，－bC．c，dD．－c，－d4．若不等式2133xxa有解，则实数a的最小值是（）A．1B．2C．4D．65．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（）A．18B．24C．30D．366．不定方程2225xy的正整数解（x，y）的组数是（）A．0组B．2组C．4组D．无穷多组．二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上．1．二次函数22yxax的图象关于直线x=1对称，则y的最小值是__________．2．已知31a，则20122011201022aaa的值为_____________．3．已知△ABC中，AB＝39，BC＝6，CA＝3，点M是BC的中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是_______________．4．一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手参赛，每位选手都与其余10n－1个选手各对局一次．计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍．则n的所有可能值是__________．三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1．（本题满分20分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程22(31)210xaxa的两个实数根，使得1212(3)(3)80xxxx成立．求实数a的所有可能值．OEDCBA2．（本题满分25分）抛物线2yaxbxc的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0x1x2．过点A的直线l与x轴交于点C，与抛物线交于点B（异于点A），满足△CAN是等腰直角三角形，且S△BMN=52S△AMN．求该抛物线的解析式．3．（本题满分25分）如图，AD、AH分别是△ABC（其中ABAC）的角平分线、高线，M是AD的中点．△MDH的外接圆交CM于E．求证：∠AEB＝90°．EHMDCBA2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案说明：评阅试卷时，请依据本评分标准：选择题和填空题只设7分和0分两档；其余各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、B2、D3、A4、C5、B6、A二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、12、03、234、1三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1、（本题满分20分）已知21,xx是关于x的一元二次方程012)13(22axax的两个实数根，使得80)3)(3(2121xxxx成立。求实数a的所有可能值。`解：由条件知056)12(4)13(222aaaa，解得5a或1a．（5分）又由根与系数的关系知)13(21axx，12221axx，于是21221212221212116)(310)(3)3)(3(xxxxxxxxxxxx19185)12(16)13(3222aaaa，（10分）由80191852aa，解得3a（舍去）或533a．（15分）于是533a．综上所述，所求的实数533a．（20分）2、（本题满分25分）抛物线cbxaxy2的图象与x轴有两个交点)0,(),0,(21xNxM，且经过点)1,0(A，其中210xx．过点A的直线l与x轴交于点.C，与抛物线交于点B（异于点A），满足CAN是等腰直角三角形，且AMNBMNSS25．求该抛物线的解析式．解：由条件知该抛物线开口向上，与x的两个交点在y轴的右侧．由于CAN是等腰直角三角形，故点C在x轴的左侧，且90CAN．故45ACN，从而)0,1(C，)0,1(N．（5分）于是直线l的方程为：1xy．设),(33yxB，由AMNBMNSS25知253y，（10分）从而233x，即)25,23(B．（15分）综上可知，该抛物线通过点)1,0(A，)25,23(B，)0,1(N．于是cbacbac02349251，（20分）解得154cba．所以所求抛物线的解析式为1542xxy．（25分）3、（本题满分25分）如图，AD、AH分别是ABC（其中ACAB）的角平分线、高线，M是AD的中点．MDH的外接圆交CM于E．求证：90AEB．证明：如图，连结EHMH,,∵M是AHDRt斜边AD的中点∴MDMHMA（5分）∴MDHMHD∵EHDM,,,四点共圆∴MDHCEH∴HECMDHMHD∴MEHHECMHDMHC180180（10分）∵HMECMH,∴CMH∽HME∴MHMEMCMH,即MCMEMH2（15分）∴MCMEMA2,又∵AMECMA∴CMA∽AME,∴MAEMCA（20分）∴MAEBADDHEBAEBHEMCAMACDHE180DMEDHE∴EHBA,,,四点共圆，∴90AHBAEB.（25分）HMEDCBA