2013年全国初中数学竞赛试题及答案

2013年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a，b，c，满足a＋2b+3c＝02a＋3b+4c＝0则ab+bc+caa2+b2+c2的值为（）（A）—12（B）0（C）12（D）12．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的一元二次方程中，以1x12，1x22为两个实根的是（）（A）c2x2+(b2－2ac)x+a2=0（B）c2x2—(b2－2ac)x+a2=0（C）c2x2+(b2－2ac)x—a2=0（D）c2x2—(b2－2ac)x—a2=03．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E，若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定．．．是有理数的为（）（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）（A）3（B）4（C）6（D）85．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：xy=3x3y+3x2y2+xy3+45(x+1)3+(y+1)3—60，且xyz=xyz（），则2013201232…的值为（）（A）607967（B）1821967（C）5463967（D）16389967二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．设a=33，b是a2的小数部分，则(b+2)3的值为____________．7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD的面积是____________．8．已知正整数a，b，c满足a+b2—2c—2=0，3a2—8b+c=0，则abc的最大值为__________．9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为___________________________________．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了__________支圆珠笔．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，抛物线y=ax2+bx—3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA，直线y=—13x2+1与y轴交于点D，求∠DBC－∠CBE．12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度数．13．设a，b，c是素数，记x=b+c－a，y=c+a－b，z=a+b－c，当z2=y，x－y=2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．ADBCOyxEABCFDE（第4题)ABCED（第7题)ABCODE（第3题)14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数．2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0abcabcabc，故2()0abc．于是2221()2abbccaabc，所以22212abbccaabc．2．【答案】B【解答】由于20axbxc是关于x的一元二次方程，则0a．因为12bxxa，12cxxa，且120xx，所以0c，且221212222221212()2112xxxxbacxxxxc，22221211axxc，于是根据方程根与系数的关系，以211x，221x为两个实根的一元二次方程是222220bacaxxcc，即2222(2)0cxbacxa．3．【答案】D【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝2ADBD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数．由Rt△DOE∽Rt△COD，知2ODOEOC，·DCDODEOC都是有理数，而AC＝·ADAB不一定是有理数．4．【答案】C【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC．连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB=S△DEC，因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE=S△ACF．因为4BCCF，所以S△ABC=4S△ACF．故阴影部分的面积为6．（第3题答题）（第4题答题）（第3题）（第4题）5．【答案】C【解答】设201320124m，则20132012433m32323339274593316460mmmmmm，于是2013201232923223333923929245546310360967．二、填空题6．【答案】9【解答】由于2123aa，故32292ba，因此333(2)(9)9b．7．【答案】20413【解答】如图，连接AF，则有：45=3AEFAEFBFEBCFAFDAFDCDFSSSBFSSSFDS，354AFDAFDCDFBCFAEFAEFBEFSSSCFSSSFES，解得10813AEFS，9613AFDS．所以，四边形AEFD的面积是20413．8．【答案】2013【解答】由已知2220abc，2380abc消去c，并整理得228666baa．由a为正整数及26aa≤66，可得1≤a≤3．若1a，则2859b，无正整数解；若2a，则2840b，无正整数解；若3a，则289b，于是可解得11b，5b．（i）若11b，则61c，从而可得311612013abc；（ii）若5b，则13c，从而可得3513195abc．综上知abc的最大值为2013．9．【答案】(1212)，，，，(00)，，，tt（t为任意实数）（第7题答题）【解答】由韦达定理得，，，．abcabdcdacdb由上式，可知bacd．若0bd，则1dab，1bcd，进而2bdac．若0bd，则ca，有()(00)，，，，，，abcdtt（t为任意实数）．经检验，数组(1212)，，，与(00)，，，tt（t为任意实数）满足条件．10．【答案】207【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，xyxy所以201371(5032)44yyxy，于是14y是整数．又20134()343503xyyy，所以204y，故y的最小值为207，此时141x．三、解答题11．如图，抛物线y23axbx，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113yx与y轴交于点D．求∠DBC∠CBE．【解答】将0x分别代入y113x，23yaxbx知，D(0，1)，C(0，3)，所以B(3，0)，A(1，0)．直线y113x过点B．将点C(0，3)的坐标代入y(1)(3)axx，得1a．抛物线223yxx的顶点为E(1，4)．于是由勾股定理得BC＝32，CE＝2，BE＝25．因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，90BCE．因此tanCBE=CECB=13．又tan∠DBO=13ODOB，则∠DBO＝CBE．所以，45DBCCBEDBCDBOOBC．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC的外心，垂心分别为OH，，若BCHO，，，共圆，对于所有的△ABC，求BAC所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论．（i）若△ABC为锐角三角形．因为1802BHCABOCA，，所以由BHCBOC，可得1802AA，于是60A．（ii）若△ABC为钝角三角形．当90A时，因为1802180BHCABOCA，，所以由180BHCBOC，可得3180180A，于是120A。当90A时，不妨假设90B，因为2BHCABOCA，，所以由180BHCBOC，可得3180A，于是60A．（iii）若△ABC为直角三角形．当90A时，因为O为边BC的中点，BCHO，，，不可能共圆，所以A不可能等于90；当90A时，不妨假设90B，此时点B与H重合，于是总有BCHO，，，共圆，因此A可以是满足090A的所有角．综上可得，A所有可能取到的度数为所有锐角及120．13．设a，b，c是素数，记xbcaycabzabc，，，当2,2zyxy时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．【解答】不能．依题意，得111()()()222ayzbxzcxy，，．因为2yz，所以211(1)()()222zzayzzz．又由于z为整数，a为素数，所以2z或3，3a．当2z时，224(2)16yzxy，．进而，9b，10c，与b，c是素数矛盾；（第12题答题（i））（第12题答题（ii））当3z时，0abc，所以a，b，c不能构成三角形的三边长．14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数12naaa，，…，，满足对任意一个正整数m，在12naaa，，…，中都至少有一个为m的魔术数．【解答】若n≤6，取m1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12naaa，，…，中的一个正整数M是(1ij，≤i＜j≤7)的公共的魔术数，即7|(10Mi)，7|(10Mj)．则有7|(ji)，但0＜ji≤6，矛盾．故n≥7．又当12naaa，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m，设其为k位数（k为正整数）．则10kim（12i，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i，(1j≤i＜j≤7)，满足7|[(10)(10)]kkjmim，即7|10()kji，从而7|()ji，矛盾．故必存在一个正整数i(1≤i≤7)，使得7|(10)kim，即i为m的魔术数．所以，n的最小值为7．