2013年首届“学数学”数学奥林匹克邀请赛试题与参考解答 2

首届\学数学数学奥林匹克邀请赛试题卷2013年首届\学数学数学奥林匹克邀请赛第二试{12:10一.(本题满分40分)如图1,已知△ABC的外心为O,其外接圆直径MN分别交AB,AC于点E,F.E,F关于O的对称点分别为E1,F1.求证:直线BF1与CE1的交点在△ABC的外接圆上.ABCEFMNOE1F1图1二.(本题满分40分)设M为所有小于1000的正整数组成的集合.M上的运算\◦定义如下:设a;b∈M,若ab∈M,则a◦b=ab.若ab̸∈M,设ab=1000k+r,其中k为正整数,r为非负整数,且r1000.当k+r∈M时,a◦b=k+r;当k+r̸∈M时,再设k+r=1000+s,a◦b=s+1.例如,559×297=166023,所以599◦297=166+23=189.再如559×983=549497,549+497=1046,所以559◦983=1+46=47.(1)求559◦758;(2)求x∈M,使得559◦x=1;(3)问:该运算是否满足结合律?即对于任意的a;b;c∈M,是否一定有a◦(b◦c)=(a◦b)◦c?如果成立,请加以证明;如果不成立,请举出反例.第1页共2页首届\学数学数学奥林匹克邀请赛试题卷三.(本题满分50分)已知正实数a1;a2;···;an与非负实数b1;b2;···;bn满足(a)a1+a2+···+an+b1+b2+···+bn=n;(b)a1a2···an+b1b2···bn=12.试求a1a2···anb1a1+b2a2+···+bnan的最大值.四.(本题满分50分)设实数a1;a2;···;a2013(允许有相同的)的算术平均值为m,称满足ai+aj+ak3m(ijk)的{i;j;k}为\优组.求优组个数的最小可能值.欢迎2013年暑期\学数学数学竞赛及自主招生夏令营数学竞赛高级研训班(限招60人)时间:2013年7月24日报到,7月25日至8月4日授课报到地点:江苏镇江江苏大学本部专家楼数学竞赛专题班时间:2013年7月29日报到,7月30日至8月7日授课报到地点:陕西西安西安市高新一中高中部自主招生强化班时间:2013年7月31日报到,8月1日至8月10日授课报到地点:1.陕西西安西安市高新一中高中部2.江苏镇江江苏大学本部专家楼本次培训教练组:单墫陈传理苏淳陶平生林常萧振纲叶中豪李昌勇杨颙刘裕文冯惠愚周敏泽顾滨等详情请登录页