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松江区2013学年度第一学期高三期末考试数学(理科)试卷(满分150分,完卷时间120分钟)2014.1一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.若函数1()1fxx(1)x的反函数为1()fx,则11()2f▲.2.若1420xx,则x▲.3.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1,则这组数据的方差为▲.4.如图,正六边形ABCDEF的边长为1,则ACDB▲.5.已知{}na为等差数列,其前n项和为nS.若11a,35a,64nS,则n▲.6.将直线1l:30xy绕着点(1,2)P按逆时针方向旋转45后得到直线2l,则2l的方程为▲.7.执行如图所示的程序框图,输出的S=▲.[来源:Zxxk.Com]8.记1)1(nnxa为的展开式中含1nx项的系数,则12111lim()nnaaa▲.9.若圆222(0)xyRR和曲线||||134xy恰有六个公共点,则R的值是▲.10.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a,从{1,2,3}中随机选取一个数b,则关于x的方程2220xaxb有两个虚根的概率是▲.11.对于任意实数x,x表示不小于x的最小整数,如1.22,0.20.定义在R上的函数()2fxxx,若集合(),10Ayyfxx,则集合A中所有元素的和为▲.12.设12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点,P是C上一点,若126PFPFa,且12PFF的最小内角为30,则C的渐近线方程为▲.13.已知函数()log1(0,1)afxxaa,若1234xxxx,且12()()fxfx34()()fxfx,则12341111xxxx▲.14.设集合{1,2,3,,}An,若B且BA,记()GB为B中元素的最大值与最小值之和,则对所有的B,()GB的平均值=▲.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.某市共有400所学校,现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本,调查学生课外阅读的情况.把这400所学校编上1~400的号码,再从1~20中随机抽取一个号码,如果此时抽得的号码是6,则在编号为21到40的学校中,应抽取的学校的编号为A.25B.26C.27D.以上都不是16.已知ba0,且1ab,则下列不等式中,正确的是[来源:学&科&网]A.0log2aB.212baC.2loglog22baD.212abba17.已知函数2sin()cos2cosxmfxxx的图像关于直线8x对称,则()fx的单调递增区间为A.3[,]()88kkkZB.3[,]()88kkkZC.3[2,2]()44kkkZD.3[2,2]()44kkkZ18.已知实数0,0ab,对于定义在R上的函数)(xf,有下述命题:①“)(xf是奇函数”的充要条件是“函数()fxa的图像关于点(,0)Aa对称”;②“)(xf是偶函数”的充要条件是“函数()fxa的图像关于直线xa对称”;③“2a是()fx的一个周期”的充要条件是“对任意的Rx,都有()()fxafx”;④“函数()yfxa与()yfbx的图像关于y轴对称”的充要条件是“ab”其中正确命题的序号是A.①②B.②③C.①④D.③④三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分已知集合{11}Axx,22{430,0}Bxxaxaa(1)当1a时,求集合BA;⑵若BBA,求实数a的取值范围.20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分过椭圆1222yx的左焦点1F的直线l交椭圆于A、B两点.⑴求1AOAF的范围;⑵若OAOB,求直线l的方程.21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分如图,相距200海里的A、B两地分别有救援A船和B船.在接到求救信息后,A船能立即出发,B船因港口原因需2小时后才能出发,两船的航速都是30海里/小时.在同时收到求救信息后,A船早于B船到达的区域称为A区,否则称为B区.若在A地北偏东45方向,距A地1502海里处的M点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移.⑴求A区与B区边界线(即A、B两船能同时到达的点的轨迹)方程;⑵问:①应派哪艘船前往救援?②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇?(精确到0.1小时)22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分已知函数2()(1)||fxxxxa.⑴若1a,解方程()1fx;⑵若函数()fx在R上单调递增,求实数a的取值范围;⑶是否存在实数a,使不等式()23fxx对一切实数xR恒成立?若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分对于数列{}nA:123,,,,nAAAA,若不改变1A,仅改变23,,,nAAA中部分项的符号,得到的新数列{}na称为数列{}nA的一个生成数列.如仅改变数列1,2,3,4,5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1,2,3,4,5.已知数列{}na为数列1{}()2nnN的生成数列,nS为数列{}na的前n项和.⑴写出3S的所有可能值;⑵若生成数列{}na满足:311(1)78nnS,求{}na的通项公式;⑶证明:对于给定的nN,nS的所有可能值组成的集合为:121{|,,2}2nnmxxmNm.松江区2013学年度第一学期高三期末考试数学(理科)试卷参考答案2014.1一、填空题1.32.13.0.0324.32[来源:学科网]5.86.2y7.1028.29.310.1511.-412.2yx13.214.1n二、选择题15.B16.C17.A18.A三、解答题19.解:(1)由11x,得02x,所以[0,2]A……2分当1a时,24{30}xxBx13xx,………………………4分∴[1,2]AB………………………6分(2)0a,∴aaB3,,………………………7分若BBA,则AB,………………………8分∴032aa即2[0,]3a………………………12分20.解:(1)易知1,1,2cba∴)0,1(1F,……………1分设),(11yxA,则221111AOAFxxy………………………3分∵122121yx∴222211111111111(1)222AOAFxxyxxx………………5分∵]2,2[1x∴11[,22]2AOAF,………………………6分(2)设A、B两点的坐标为11(,)Axy、22(,)Bxy①当l平行于y轴时,点2(1,)2A、2(1,)2B,此时102OAOB……8分[来源:Zxxk.Com]②当l不平行于y轴时,设直线l的斜率为k,则直线l方程为(1)ykx,由22(1)12ykxxy得2222(12)4220kxkxk…………………9分2122412kxxk,21222212kxxk…………………11分22212121212(1)()OAOBxxyykxxkxxk=22222(1)12kkk22224012kkkk得22k,2k…………13分故所求的直线方程为2(1)yx…………14分21.解:⑴设点P为边界线上的点,由题意知23030PAPB,即60PAPB,即动点P到两定点A、B的距离之差为常数,∴点P的轨迹是双曲线中的一支。……………………3分由2200,260ca得30a,222100309100b∴方程为2219009100xy(0x)…………………6分⑵①M点的坐标为(50,150)M,A点的坐标为(100,0)A,B点的坐标为(100,0)B,∴1502212.1MA,2250150158.1MB,212.1158.15460MAMB,∴点M在A区,又遇险船向正北方向漂移,,即遇险船始终在A区内,∴应派A船前往救援…………………8分②设经t小时后,A救援船在点N处与遇险船相遇。在AMN中,1502AM,10,30,135MNtANtAMN…………………9分∴222(30)(10)(1502)2101502cos135ttt整理得24152250tt,解得1515179.6068t或1515178t(舍)…………………13分∴A救援船需9.6小时后才能与遇险船相遇.…………………14分22.解:(1)当1a时,2()(1)|1|fxxxx,故有,221,1()1,1xxfxx,…………………2分当1x时,由()1fx,有2211x,解得1x或1x…………………3分当1x时,()1fx恒成立…………………4分∴方程的解集为{|11}xxx或…………………5分(2)22(1),()(1),xaxaxafxaxaxa,…………………7分若()fx在R上单调递增,则有1410aaa,解得,13a…………………9分∴当13a时,()fx在R上单调递增……………10分(3)设()()(23)gxfxx则22(3)3,()(1)3,xaxaxagxaxaxa…………………11分不等式()23fxx对一切实数xR恒成立,等价于不等式()0gx对一切实数xR恒成立.①若1a,则10a,即201a,取021xa,此时0(,)xa022()()(1)31011gxgaaaaa,即对任意的1a,总能找到021xa,使得0()0gx,∴不存在1a,使得()0gx恒成立.…………………12分②若1a,2244,1()2,1xxxgxx,()gx值域[2,),所以()0gx恒成立.…………………13分③若1a,当(,)xa时,()gx单调递减,其值域为2(23,)aa,由于2223(1)22aaa,所以()0gx成立.当[,)xa时,由1a,知34aa,()gx在34ax处取最小值,令23(3)()3048aaga,得35a,又1a,所以31a……15分综上,[3,1]a.…………………16分23.(1)由已知,112a,1||(,2)2nnanNn,∴2311,48aa……………………………………2分由于1117111511131111,,,2488248824882488∴3S可能值为1357,,,8888.…………………4分(2)∵311(1)78nnS,当1n时,1233111(1)788aaaS,…………………5分当2n时,32313333111111(1)(1)78788nnnnnnnnaaaSS……6分∵{}n
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