2014年高考大纲版数学（理）卷（有答案）

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103izi，则z的共轭复数为（）A．13iB．13iC．13iD．13i【答案】D．2.设集合2{|340}Mxxx，{|05}Nxx，则MN（）A．(0,4]B．[0,4)C．[1,0)D．(1,0]【答案】B.3.设sin33,cos55,tan35,abc则（）A．abcB．bcaC．cbaD．cab【答案】C．4.若向量,ab满足：1,,2,aabaabb则b（）A．2B．2C．1D．22【答案】B．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【答案】C．6.已知椭圆C：22221xyab(0)ab的左、右焦点为1F、2F，离心率为33，过2F的直线l交C于A、B两点，若1AFB的周长为43，则C的方程为（）A．22132xyB．2213xyC．221128xyD．221124xy【答案】A．7.曲线1xyxe在点（1,1）处切线的斜率等于（）A．2eB．eC．2D．1【答案】C．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．814B．16C．9D．274【答案】A．9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为1F、2F，点A在C上，若122FAFA，则21cosAFF（）A．14B．13C．24D．23【答案】A．10.等比数列{}na中，452,5aa，则数列{lg}na的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【答案】C．11.已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，135ACD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．14B．24C．34D．12【答案】B.12.函数()yfx的图象与函数()ygx的图象关于直线0xy对称，则()yfx的反函数是（）A．()ygxB．()ygxC．()ygxD．()ygx【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8xyyx的展开式中22xy的系数为.（用数字作答）【答案】70.14.设,xy满足约束条件02321xyxyxy，则4zxy的最大值为.【答案】5.15．直线1l和2l是圆222xy的两条切线，若1l与2l的交点为1,3，则1l与2l的夹角的正切值等于.【答案】43．16.若函数()cos2sinfxxax在区间(,)62是减函数，则a的取值范围是.【答案】,2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cos2cosaCcA，1tan3A，求B.解：由题设和正弦定理得13sincos2sincos,3tancos2sin.tan,cos2sin,3ACCAACCACC=\==\=()()1tantantan,tantan180tan1,2tantan1ACCBACACAC+轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135BB?癨??．18.（本小题满分12分）等差数列{}na的前n项和为nS，已知110a，2a为整数，且4nSS.（I）求{}na的通项公式；（II）设11nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT.解：（I）由110a，2a为整数知，等差数列{}na的公差d为整数．又4nSS，故450,0,aa于是1030,1040dd，解得10532d-＃-，因此3d=-，故数列{}na的通项公式为133nan=-．（II）11111331033103133nbnnnn，于是12111111111137104710313331031010103nnnTbbbnnnn．19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCABC中，点1A在平面ABC内的射影D在AC上，090ACB，11,2BCACCC.（I）证明：11ACAB；（II）设直线1AA与平面11BCCB的距离为3，求二面角1AABC的大小.DB1CC1A1AB解：解法一：（I）1AD^平面ABC，1ADÌ平面11AACC，故平面11AACC^平面ABC．又BCAC^，BC\^平面11AACC．连结1AC，∵侧面11AACC为菱形，故11ACAC^，由三垂线定理得11ACAB^；（II）BC^平面11,AACCBCÌ平面11BCCB，故平面11AACC^平面11BCCB．作11,AECCE^为垂足，则1AE^平面11BCCB．又直线1AA∥平面11BCCB，因而1AE为直线1AA与平面11BCCB的距离，13AE=．∵1AC为1ACCÐ的角平分线，故113ADAE==．作,DFABF^为垂足，连结1AF，由三垂线定理得1AFAB^，故1AFDÐ为二面角1AABC的平面角．由22111ADAAAD=-=得D为AC的中点，1115,tan15,25ADACBCDFAFDABDF´=??=∴二面角1AABC的大小为arctan15．B1C1DCBAA1EFzyxB1C1DCBAA1解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz-．由题设知1AD与z轴平行，z轴在平面11AACC内．（I）设()1,0,Aac，由题设有()()2,2,0,0,0,1,0,aAB£则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.ABACAAacACACAAacBAac=-=-=-=+=-=-由12AA=得()2222ac-+=，即2240aac-+=（①）．于是22111140,ACBAaacACAB?-+=\^．（II）设平面11BCCB的法向量(),,,mxyz=则1,,mCBmBB^^即10,0mCBmBB??．()0,1,0,CB=()112,0,,BBAAac==-故0y=，且()20axcz-+=．令xc=，则()2,,0,2zamca=-=-，点A到平面11BCCB的距离为()222cos,2CAmcCAmCAcmca×?==+-．又依题设，点A到平面11BCCB的距离为3,3c\=．代入①解得3a=（舍去）或1a=．于是()11,0,3AA=-．设平面1ABA的法向量(),,npqr=，则1,nAAnAB^^，即10,0,30nAAnABpr??\-+=，故且20pq-+=．令3p=，则23,1,qr==3,23,1n．又0,0,1p为平面ABC的法向量，故1cos,4npnpnp，∴二面角1AABC的大小为1arccos4．20.（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.解：记iA表示事件：同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备，0,1,2i；B表示事件：甲需使用设备；C表示事件：丁需使用设备；D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（I）122DABCABABC，又220.6,0.4,0.5,0,1,2.iiPBPCPACiPD1221221220.31.PABCABABCPABCPABPABCPAPBPCPAPBPAPBPC（II）X的可能取值为0，1，2，3，4．200010.60.510.40.06PXPBACPBPAPC，200100110.60.5PXPBACBACBACPBPAPCPBPAPCPBPAPC22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4PXPABC220.50.60.40.06,340.25,210PAPBPCPXPDPXPXPX13410.060.250.250.060.38.PXPXPX∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EXPXPXPXPXPX=?+?+?+?+?=+???21.（本小题满分12分）已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F，直线4y与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且5||||4QFPQ.（I）求C的方程；（II）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.解：（I）设()0,4Qx，代入22ypx=，得00888,,.22ppxPQQFxppp=\==+=+．由题设得85824ppp+=?，解得2p=-（舍去）或2p=，∴C的方程为24yx=；（II）由题设知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为()10xmym=+?，代入24yx=得2440ymy--=．设()()1122,,,,AxyBxy则124,yym+=124yy=-．故AB的中点为()()2221221,2,141DmmABmyym+=+-=+．又l¢的斜率为,ml¢-\的方程为2123xymm=-++．将上式代入24yx=，并整理得()2244230yymm+-+=．设()()3344,,,,MxyBxy则()234344,423yyyymm+=-=-+．故MN的中点为()22234222412122123,,1mmEmMNyymmmm++骣÷ç++-=+-=÷ç÷ç桫．由于MN垂直平分线AB，故,,,AMBN四点在同一圆上等价于12AEBEMN==，从而22211,44ABDEMN+=即()()()2222222244121224122mmmmmmm++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m-=，解得1m=或1m=-．所求直线l的方程为10xy--=或10xy+-=．22.（本小题满分12分）函数ln11axfxxaxa.（I）讨论fx的单调性；（II）设111,ln(1)nnaaa，证明：23+22nann.解：（I）fx的定义域为2221,,1xxaafxxxa．（i）当12a时，若21,2xaa，则0,fxfx在21,2aa上是增函数；若22,0,xaa则0,fxfx在22,0aa上是减函数；若0,,x则0,fxfx在0,上是增函数．（ii）当2a=时,()()0,0fxfxⅱ?成立当且仅当()0,xfx=在()1,-+?上是增函数．（iii）当2a时，若()1,0x?，则0,fxfx在是()1,0-上是增函数；若20,2xaa，则0,fxfx在20,2aa上是减函数；若22,xaa，则0,fxfx在22,aa上是增函数．（II）由（I）知，当2a=时，()fx在()1