2014年高考广东省数学（理）卷（有答案）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．学科网在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M，{0,1,2}N，则MNA.{0,1}B.{1,0,2}C.{1,0,1,2}D.{1,0,1}2．已知复数Z满足(34)25iz，则Z=A.34iB.34iC.34iD.34i3．若变量,xy满足约束条件121yxxyzxyy且的最大值学科网和最小值分别为m和n，则mnA.5B.6C.7D.84．若实数k满足09k，则曲线221259xyk与曲线221259xyk的A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等5．已知向量1,0,1a，则下列向量中与a成60夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，学科网为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,llll，满足122334,,llllll，则学科网下面结论一定正确的是A.14llB.14//llC.14,ll既不垂直也不平行D.14,ll的位置关系不确定8．设集合12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iAxxxxxxi，那么集合A中满足条件“1234513xxxxx”的元素个数为A.60B.90C.120D.130小学生3500名初中生4500名高中生2000名小学初中30高中10年级50O近视率/%二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521xx的解集为。10．曲线25xey在点)3,0(处的切线方程为。11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为。12．在ABC中，角CBA,,所对应的边分别为cba,,，已知bBcCb2coscos，则ba。13．若等比数列na的各项均为正数，学科网且512911102eaaaa，则1220lnlnlnaaa。（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C和2C的方程分别为2sincos和sin1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C和2C交点的直角坐标为_________.15．（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD中，点E在AB上且AEEB2，AC与DE交于点F，则的面积的面积AEFCDF三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数RxxAxf),4sin()(，且23)125(f，（1）求A的值；（2）若23)()(ff，)2,0(，求)43(f。17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25,30]30.12(30,35]50.20(35,40]80.32(40,45]n1f1(45,50]n2f2（1）确定样本频率分布表中121,,nnf和2f的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率。CEABFD18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，030DPC，AFPC于点F，//FECD，交PD于点E.（1）证明：CFADF平面（2）求二面角DAFE的余弦值。19．（本小题满分14分）设数列na的前n和为nS,满足2*1234,nnSnannnN，且315S，(1)求123,,aaa的值;(2)求数列na的通项公式。20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为(5,0)，离心率为53，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点00(,)Pxy为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。21．（本小题满分14分）设函数2221()(2)2(2)3fxxxkxxk，其中2k，（1）求函数()fx的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数()fx在D上的单调性；（3）若6k，求D上满足条件()(1)fxf的x的集合（用区间表示）。ABCDEFP2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案成本文6/8/2014１－８：CDBABADD;８.解：A中元素为有序数组12345,,,,xxxxx，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为1、仅2个数为1或仅3个数为1，所以共有123555222222130CCC个不同数组；9.(,3)(2,);10.53yx;11.16;12.2;13.50;14.(1,1);15.9;11.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，336331016CCPC；16.解：（1）553()sin()121242fA，3322A，3A；()f()f（2）3()()3sin()3sin()442ff，2233[(sincos)(sincos)]222，36cos2，6cos4，又)2,0(，210sin1cos4，)43(f303sin()3sin4．17.解：（1）127,2nn，120.28,0.08ff；（2）样本频率分布直方图为（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2，设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为，则~(4,0.2)B，4(1)1(0)1(10.2)10.40960.5904PP，所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904．18.（１）PD平面ABCD，PDAD，又CDAD，PDCDD，AD平面PCD，日加工零件数频率组距0.0160.0240.040.0560.0642530354045500ADPC，又AFPC，PC平面ADF，即CFADF平面；（２）设1AB，则RtPDC中，1CD，又030DPC，2PC，3PD，由（１）知CFDF32DF，2272AFADDF，2212CFACAF，又//FECD，14DECFPDPC，34DE，同理3344EFCD，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)A，3(,0,0)4E，33(,,0)44F，(3,0,0)P，(0,1,0)C，设(,,)mxyz是平面AEF的法向量，则mAEmEF，又3(,0,0)43(0,,0)4AEEF，所以304304mAExzmEFy，令4x，得3z，(4,0,3)m，由（１）知平面ADF的一个法向量(3,1,0)PC，设二面角DAFE的平面角为，可知为锐角，||cos|cos,|||||mPCmPCmPC4325719192，即所求．19.解：23420Sa，3233520SSaa，又315S，37a，234208Sa，又212222(27)37SSaaaa，25a，112273aSa，综上知13a，25a，37a；（２）由（１）猜想21nan，学科网下面用数学归纳法证明．①当1n时，结论显然成立；②假设当nk（1k）时，21kak，则3(21)357(21)(2)2kkSkkkk，又21234kkSkakk，21(2)234kkkkakk，解得1246kak，12(1)1kak，即当1nk时，结论成立；由①②知，*,21nnNan．20.解：（１）可知5c，又53ca，3a，2224bac，椭圆C的标准方程为22194xy；（２）设两切线为12,ll，ABCDEFPxyz①当1lx轴或1//lx轴时，对应2//lx轴或2lx轴，可知(3,2)P②当1l与x轴不垂直且不平行时，03x，设1l的斜率为k，则0k，2l的斜率为1k，1l的方程为00()yykxx，联立22194xy，得2220000(94)18()9()360kxykxkxykx，因为直线与椭圆相切，学科网所以0，得222200009()(94)[()4]0ykxkkykx，2200364[()4]0kykx，2220000(9)240xkxyky所以k是方程2220000(9)240xxxyxy的一个根，同理1k是方程2220000(9)240xxxyxy的另一个根，1()kk202049yx，得220013xy，其中03x，所以点P的轨迹方程为2213xy（3x），因为(3,2)P满足上式，综上知：点P的轨迹方程为2213xy．21.解：（１）可知222(2)2(2)30xxkxxk，22[(2)3][(2)1]0xxkxxk，223xxk或221xxk，2(1)2xk(20)k或2(1)2xk(20)k，|1|2xk或|1|2xk，12k12xk或12xk或12xk，所以函数()fx的定义域D为(,12)k(12,k12)k(12,)k；（２）232222(2)(22)2(22)'()2(2)2(2)3xxkxxfxxxkxxk23222(21)(22)(2)2(2)3xxkxxxkxxk，由'()0fx得2(21)(22)0xxkx，即(1)(1)(1)0xkxkx，1xk或11xk，结合定义域知12xk或112xk，所以函数()fx的学科网单调递增区间为(,12)k，(1,12)k，同理递减区间为(12,1)k，(12,)k；（３）由()(1)fxf得2222(2)2(2)3(3)2(3)3xxkxxkkk，2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0xxkkxxkk，22(225)(23)0xxkxx，(124)(124)(3)(1)0xkxkxx，124xk或124xk或3x或1x，6k，1(1,12)k，3(12,1)k，12412kk