2014年高考湖北省数学（理）卷（有答案）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i为虚数单位，则2)11(ii（）A.1B.1C.iD.i2.若二项式7)2(xax的展开式中31x的系数是84，则实数a（）A.2B.54C.1D.423.设U为全集，BA,是集合，则“存在集合C使得CCBCAU,是“BA”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.根据如下样本数据x345678y4.02.55.00.50.20.3得到的回归方程为abxyˆ，则（）A.0,0baB.0,0baC.0,0baD.0.0ba5.在如图所示的空间直角坐标系xyzO中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②6.若函数1,1)(),(,0)()()(),(11为区间则称满足xgxfdxxgxfxgxf上的一组正交函数，给出三组函数：①xxgxxf21cos)(,21sin)(；②1)(,1)(xxgxxf；③2)(,)(xxgxxf其中为区间]1,1[的正交函数的组数是（）A.0B.1C.2D.37.由不等式0200xyyx确定的平面区域记为1，不等式21yxyx，确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（）A.81B.41C.43D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式21.36vLh它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式2275vLh相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A.227B.258C.15750D.3551139.已知12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且123FPF,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.433B.233C.3D.210.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当0x时，2221()(||)|2|3).2fxxaxaa若,(1)(),xRfxfx则实数a的取值范围为（）A.11[,]66B.66[,]66C.11[,]33D.33[,]33二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a，(1,1)b，若abab，则实数________.12.直线1l：y=x+a和2l：y=x+b将单位圆22:1Cxy分成长度相等的四段弧，则22ab________.13.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为Ia，按从大到小排成的三位数记为Da（例如815a，则158Ia，851Da）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b________.14.设xf是定义在,0上的函数，且0xf，对任意0,0ba，若经过点bfbafa,,,的直线与x轴的交点为0,c，则称c为ba,关于函数xf的平均数，记为),(baMf，例如，当)0(1xxf时，可得2),(bacbaMf，即),(baMf为ba,的算术平均数.（1）当)0_____(xxf时，),(baMf为ba,的几何平均数；（2）当当)0_____(xxf时，),(baMf为ba,的调和平均数baab2；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P为⊙O的两条切线，切点分别为BA,，过PA的中点Q作割线交⊙O于DC,两点，若,3,1CDQC则_____PB16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C的参数方程是33tytx为参数t，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2，则1C与2C交点的直角坐标为________17、（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18（本小题满分12分）已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.19(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，NMFE,,,分别是棱1111,,,DABAADAB的中点，点QP,分别在棱1DD,1BB上移动，且20BQDP.（1）当1时，证明：直线1BC平面EFPQ;（2）是否存在，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点1,0F的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.(1)求轨迹为C的方程(2)设斜率为k的直线l过定点2,1p，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。数学（理）（湖北卷）参考答案一、选择题（1）A（2）C（3）C（4）B（5）D（6）C（7）D（8）B（9）A（10）B二、填空题（11）3（12）2（13）495（14）x；x或1kx；2kx（15）4（16）)1,3(三、解答题（17）解：（I）因为31()102(cossin)102sin()212212123ftttt，又240t，所以373123t，1)312sin(1t，当2t时，1)312sin(t；当14t时，1)312sin(t；于是)(tf在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C，最低温度为8C，最大温差为4C（II）依题意，当11)(tf时实验室需要降温.由（1）得)312sin(210)(ttf，所以11)312sin(210t，即1sin()1232t，又240t，因此61131267t，即1810t，故在10时至18时实验室需要降温.（18）解：（I）设数列}{na的公差为d，依题意，dd42,2,2成等比数列，所以)42(2)2(2dd，化简得240dd，解得0d或4d，当0d时，2na；当4d时，244)1(2nnan，从而得数列}{na的通项公式为2na或24nan.（II）当2na时，nSn2，显然800602nn，不存在正整数n，使得80060nSn.成立当24nan时，222)]24(2[nnnSn，令8006022nn，即0400302nn，解得40n或10n（舍去）此时存在正整数n，使得80060nSn成立，n的最小值为41.综上所述，当2na时，不存在满足题意的n；当24nan时，不存在满足题意的n；n的最小值为41.（19）解：（I）证明：如图1，连结1AD，由1111DCBAABCD是正方体，知11//ADBC，当1时，P是1DD的中点，又F是AD的中点，所以1//ADFP，所以FPBC//1，而FP平面EFPQ，且1BC平面EFPQ，故直线//1BC平面EFPQ.（II）如图2，连结BD，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以BDEF//，且BDEF21，又BQDP，BQDP//，所以四边形PQBD是平行四边形，故BDPQ//，且BDPQ，从而PQEF//，且PQEF21，在EBQRt和FDPRt中，因为DPBQ，1DFBE，于是，21FPEQ，所以四边形EFPQ是等腰梯形，同理可证四边形PQMN是等腰梯形，分别取EF、PQ、MN的中点为H、O、G，连结OH、OG，则PQGO，PQHO，而OHOGO，故GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角，若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则90GOH，连结EM、FN，则由MNEF//，且MNEF，知四边形EFNM是平行四边形，连结GH，因为H、G是EF、MN的中点，所以2MEGH，在GOH中，42GH，21)22(12222OH，21)2()22()2(12222OG，由222GHOHOG得42121)2(22，解得221，故存在221，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.向量法：以D为原点，射线1,,DDDCDA分别为zyx,,轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系xyzD，由已知得),0,0(),0,0,1(),2,2,0(),0,2,2(1PFCB，所以)2,0,2(1BC，),0,1(FP，)0,1,1(FE，（I）证明：当1时，)1,0,1(FP，因为)2,0,2(1BC，所以FPBC21，即FPBC//1，而FP平面EFPQ，且1BC平面EFPQ，故直线//1BC平面EFPQ.（II）设平面EFPQ的一个法向量),,(zyxn，由00nnFPFE可得00zxyx，于是取)1,,(n，同理可得平面MNPQ的一个法向量为)1,2,2(m，若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则0)1,,()1,2,2(nm，即01)2()2(，解得221，故存在221，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.（20）解：（I）依题意，2.05010)8040(1XPP，7.05035)12080(2XPP，1.0505)120(3XPP，由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：9477.0101)109(4)109()1()1(34333144304PPCPCP.（II）记水电站年总利润为Y（单位：万元）①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000Y，500015000EY.②安装2台发电机.当8040X时，一台发电机运行，此时42008005