2014年高考辽宁省数学（文）卷（有答案）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}URAxxBxx，则集合()UCAB（）A．{|0}xxB．{|1}xxC．{|01}xxD．{|01}xx2．设复数z满足(2)(2)5zii，则z（）A．23iB．23iC．32iD．32i3.已知132a，21211log,log33bc，则（）A．abcB．acbC．cabD．cba4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若//,//,mn则//mnB．若m，n，则mnC．若m，mn，则//nD．若//m，mn，则n5.设a,b,c是非零向量，已知命题P：若0ab，0bc，则0ac；命题q：若//,//abbc，则//ac，则下列命题中真命题是（）A．pqB．pqC．()()pqD．()pq6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．2B．4C．6D．8ABDC7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．84B．82C．8D．828.已知点(2,3)A在抛物线C：22ypx的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．43B．1C．34D．129.设等差数列{}na的公差为d，若数列1{2}naa为递减数列，则（）A．0dB．0dC．10adD．10ad10.已知()fx为偶函数，当0x时，1cos,[0,]2()121,(,)2xxfxxx，则不等式1(1)2fx的解集为（）A．1247[,][,]4334B．3112[,][,]4343C．1347[,][,]3434D．3113[,][,]433411.将函数3sin(2)3yx的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间7[,]1212上单调递减B．在区间7[,]1212上单调递增C．在区间[,]63上单调递减D．在区间[,]63上单调递增12.当[2,1]x时，不等式32430axxx恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[5,3]B．9[6,]8C．[6,2]D．[4,3]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入3n，则输出T.14.已知x，y满足条件220240330xyxyxy，则目标函数34zxy的最大值为.15.已知椭圆C：22194xy，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则||||ANBN.16.对于0c，当非零实数a，b满足22420aabbc，且使|2|ab最大时，124abc的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c，且ac，已知2BABC，1cos3B，3b，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos()BC的值.18.（本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.19.（本小题满分12分）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且2ABBCBD，0120ABCDBC，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点.（Ⅰ）求证：EF平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D-BCG的体积.附：椎体的体积公式13VSh，其中S为底面面积，h为高.GFEBCDA20.（本小题满分12分）圆224xy的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线:+3lyx交于A，B两点，若PAB的面积为2，求C的标准方程.xyOP21.（本小题满分12分）已知函数()(cos)2sin2fxxxx，1sin2()()11sinxxgxxx.证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x，使0()0fx；（Ⅱ）存在唯一1(,)2x，使1()0gx，且对（1）中的x0，有01xx.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.FCPEDGAB23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221xy上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线:220lxy与C的交点为12,PP，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1fxxx，2()1681gxxx，记()1fx的解集为M，()4gx的解集为N.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当xMN时，证明：221()[()]4xfxxfx.参考答案1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C9.D10.Ａ11.B12.C13.2014.1815.1216.1(17)解：（Ⅰ）由2BABC得，cos2caB．又1cos3B．所以6ca．由余弦定理，得2222cosacbacB．又3b．所以2292213ac．解226,13,acac得2,3ac或3,2ac．因为ac．所以3,2ac．（Ⅱ）在ABC中，22122sin1cos1()33BB．由正弦定理得，22242sinsin339cCBb．因abc，所以C为锐角．因此2cos1sinCC2421()979．于是cos(B)coscossinsinCBCBC17224223393927．18.（Ⅰ）将22列联表中的数据代入公式计算．得22112212211212(nnnn)nxnnnn2100(60102010)70308020100214.762．由于4.7623.841．所以有0095/的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．（Ⅱ）从5名数学系的学生任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间121122123112=(,,),(,,),(,,),(,b,)aabaabaabab，123113212(,b,),(,b,),(,b,),ababab223(,b,)ab，213(,b,)ab，123(,b,)bb．其中ai表示喜欢甜品的学生，i1,2．bj表示不喜欢甜品的学生，j1,2,3．由10个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则112123113212223A(,b,),(,b,),(,b,),(,b,),(,b,),ababababab213123(,b,),(,b,)abbb．事件A是由7个基本事件组成．因而7()10PA．19.（Ⅰ）证明：由已知得ABCDBC．因此ACDC．又G为AD中点，所以CGAD；同理BGAD；因此AD平面BGC．又//EFAD．所以EF平面BCG．（Ⅱ）在平面ABC内．作AOCB．交CB延长线于O．由平面ABC平面BCD．知AO平面BDC．又G为AD中点，因此G到平面BCD距离h是AO长度的一半．在AOB中，0sin603AOAB．所以011131sin12033222DBCGGBCDDBCVVShBDBC．GFEBCDAO20.（Ⅰ）设切点坐标为00(x,y)00(x0,y0)．则切线斜率为00xy．切线方程为0000y(xx)xyy．即004xxyy．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积000014482Sxyxy．由22000042xyxy知当且仅当002xy时，00xy有最大值．即S有最小值．因此点P的坐标为(2,2)．（Ⅱ）设C的标准方程为22221(0)xyabab．点1122A(x,y),B(x,y)．由点P在C上知22221ab．并由22221,3,xyabyx得22243620bxxb．又12,xx是方程的根，因此12221224362xxbbxxb，由113yx，223yx，得241224824822bbABxxb．由点P到直线l的距离为32及13222PABSAB得429180bb．解得26b或3．因此26b，23a（舍）或23b，26a．从而所求C的方程为22163xy．21.（Ⅰ）当(0,)2x时，'()sin2cos0fxxx，所以()fx在(0,)2上为增函数．又(0)20f．2()4022f．所以存在唯一0(0,)2x，使0()0fx．（Ⅱ）当(,)2x时，化简得cos2()()11sinxxgxxx．令tx．记()()utgttcos211sinttt．(0,)2t．则'()()(1sin)ftutt．由（Ⅰ）得，当0(0,x)t时，'()0ut；当0(,)2tx时，'()0ut．从而在0(,)2x上()ut为增函数，由()02u知，当0[,)2tx时，()0ut，所以()ut在0[,)2x上无零点．在0(0,x)上()ut为减函数，由(0)1u及0()0ux知存在唯一00(0,x)t，使得0()0ux．于是存在唯一0(0,)2t，使得0()0ut．设10(,)2xt．100()()()0gxgtut．因此存在唯一的1(,)2x，使得1()0gx．由于10xt，00xt，所以01xx．22.（Ⅰ）因为PGPD．所以PDGPGD．由于PD为切线，所以PDADBA．又由于PGDEGA，故DBAEGA．所以,DBABADEGABADBDAPFA从而由于AFEP，所以090PFA，于是090BDA．故AB为圆的直径．（Ⅱ）连接BCDC、．由于AB是直径，故090BDAACB．在RtBDA和RtACB中，ABBA，ACBD．从而RtBDARtACB．于是DABCBA．又因为DCBDAB，所以DCBCBA．故//DCAB．由于ABEP，所以DCEP，DCE为直角．于是ED为直径．由（Ⅰ）得，EDAB．FCPEDGAB23.（Ⅰ）设11(,y)x为圆上的点，经变换为C上点(x,y)．依题意，得11,2,xxyy由22111x