2014年高考新课标I数学（文）卷（有答案）

2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I文科卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合12|,31|xxBxxM，则MB（）A.)1,2(B.)1,1(C.)3,1(D.)3,2(（2）若0tan，则A.0sinB.0cosC.02sinD.02cos（3）设iiz11，则||zA.21B.22C.23D.2（4）已知双曲线)0(13222ayax的离心率为2，则aA.2B.26C.25D.1（5）设函数)(),(xgxf的定义域为R，且)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，学科网则下列结论中正确的是A.)()(xgxf是偶函数B.)(|)(|xgxf是奇函数C.|)(|)(xgxf是奇函数D.|)()(|xgxf是奇函数（6）设FED,,分别为ABC的三边ABCABC,,的中点，则FCEBA.ADB.AD21C.BC21D.BC（7）在函数①|2|cosxy，②|cos|xy，③)62cos(xy,④)42tan(xy中，最小正周期为的所有函数为A.①②③B.①③④C.②④D.①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.执行右面的程序框图，若输入的,,abk分别为1,2,3，学科网则输出的M()A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C：xy2的焦点为F,yxA00,是C上一点，xkb1xFA045，则x0（）A.1B.2C.4D.8（11）设x，y满足约束条件,1,xyaxy且zxay的最小值为7，学科网则a（A）-5（B）3（C）-5或3（D）5或-3（12）已知函数32()31fxaxx，若()fx存在唯一的零点0x，且00x，则a的取值范围是（A）2,（B）1,（C）,2（D）,1第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、xkb1C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数113,1,,1,xexfxxx则使得2fx成立的x的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角60MAN，C点的仰角45CAB以及75MAC；从C点测学科网得60MCA.已知山高100BCm，则山高MN________m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知na是递增的等差数列，2a，4a是方程2560xx的根。（I）求na的通项公式；（II）求数列2nna的前n项和.（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)频数62638228（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品学科网符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19(本题满分12分)如图，三棱柱111CBAABC中，侧面CCBB11为菱形，CB1xkb1的中点为O，且AO平面CCBB11.（1）证明：;1ABCB（2）若1ABAC,,1,601BCCBB求三棱柱111CBAABC的高.20.（本小题满分12分）已知点)2,2(P，圆C:0822yyx，过点P的动直线l与圆C交于BA,两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.（1）求M的轨迹方程；（2）当OMOP时，求l的方程及POM的面积21（12分）设函数21ln12afxaxxbxa，xkb1曲线11yfxf在点，处的切线斜率为0（1）求b;（2）若存在01,x使得01afxa，求a的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.（I）证明：DE；（II）设AD不是O的直径，AD的中点为M，xkb1且MBMC，学科网证明：ABC为等边三角形.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线194:22yxC，直线tytxl222:（t为参数）（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，学科网求PA的最大值与最小值.（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲若,0,0ba且abba11（I）求33ba的最小值；（II）是否存在ba,，使得632ba？并说明理由.文科数学试题答案一、选择题（1）B（2）A（3）B（4）D（5）A（6）C（7）C（8）B（9）D（10）C（11）B（12）A二、填空题（13）23（14）A（15）(,8]（16）150三、解答题（17）解：（I）方程2560xx的两根为2,3，由题意得242,3.aa设数列na的公差为d，则422,aad故1,2d从而13,2a所以na的通项公式为112nan……6分（II）设2nna的前n项和为,ns由（I）知12,22nnnan则2313412...,2222nnnnns341213412....22222nnnnns两式相减得31213112(...)24222nnnns123112(1).4422nnn所以142.2nnns……12分（18）解：（I）（II）质量指标值的样本平均数为x80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.质量指标值的样本方差为22222(20)0.060.26+0.38+100.22200.08s（-10）=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.……10分（III）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.……12分（19）解：（I）连接1BC，则O为1BC与1BC的交点.因为侧面11BBCC为菱形，所以11.BCBC又AO平面11BBCC，所以1BCAO，故1BC平面ABO.由于AB平面ABO，故1.BCAB……6分（II）作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，所以OH平面ABC.因为160CBB，所以1CBB为等边三角形，又BC=1，可得34OD.由于1ACAB，所以111.22OABC由OHADODOA，且2274ADODOA，得21.14OH又O为1BC的中点，所以点1B到平面ABC的距离为217故三棱柱111ABCABC的距离为217.（20）解：（I）圆C的方程可化为22(4)16xy，所以圆心为(0,4)C，半径为4，设(,)Mxy，则(,4)CMxy，(2,2)MPxy，由题设知0CMMP，故(2)(4)(2)0xxyy，即22(1)(3)2xy.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是22(1)(3)2xy.……6分（II）由（1）可知M的轨迹是以点(1,3)N为圆心，2为半径的圆.由于||||OPOM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为13，故l的方程为1833yx.又||||22OPOM，O到l的距离为4105，410||5PM，所以POM的面积为165.……12分（21）解：（I）'()(1)afxaxbx，由题设知'(1)0f，解得1b.……4分（II）()fx的定义域为(0,)，由（1）知，21()ln2afxaxxx，'1()(1)1()(1)1aaafxaxxxxxa（ⅰ）若12a，则11aa，故当(1,)x时，'()0fx，()fx在(1,)单调递增，所以，存在01x，使得0()1afxa的充要条件为(1)1afa，即1121aaa，解得2121a.（ii）若112a，则11aa，故当(1,)1axa时，'()0fx；当(,)1axa时，'()0fx，()fx在(1,)1aa单调递减，在(,)1aa单调递增.所以，存在01x，使得0()1afxa的充要条件为()11aafaa，而2()ln112(1)11aaaaafaaaaaa，所以不合题意.（iii）若1a，则11(1)1221aaafa.综上，a的取值范围是(21,21)(1,).……12分（22）解：（I）由题设知A，B，C，D四点共圆，所以DCBE，由已知得CBEE，故.DE……5分（II）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MNBC，故O在直线MN上.又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即.MNAD所以ADBC，故.ACBA又CBEE，故.AE由（I）知，DE，所以ADE为等边三角形.……10分（23）解：（I）曲线C的参数方程为2cos3sinxy，，（为参数）直线l的普通方程为260.xy……5分（II）曲线C上任意一点(2cos,3sin)p到l的距离为54cos3sin6.5d则255sin()6sin305dPAa，其中a为锐角，且4tan.3当sin()1时，PA取得最大值，最大值为225.5当sin()1时，PA取得最小值，最小值为255……10分（24）解：（I）由112ababab，得2ab，且当2ab时等号成立.故3333242abab，且当2ab时等号成立.所以33ab的最小值为42.……5分（II）由（I）知，232643.abab由于436，从而不存在,ab，使得236ab.……10分