2014中国奥林匹克竞赛

第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克江苏南京第一天(2013年12月21日8:0012:30)1.如图1,在锐角△ABC中,ABAC,\BAC的平分线与边BC交于点D,点E、F分别在边AB、AC上,使得B、C、F、E四点共圆.证明:△DEF的外接圆圆心与△ABC的内切圆圆心重合的充分必要条件是BE+CF=BC...A.B.C.D.E.F图12.对大于1的整数n,定义集合D(n)=fabjn=ab;a;b为正整数;abg:证明:对任意大于1的整数k,总存在k个互不相同且大于1的整数n1;n2;


;nk,使得D(n1)\D(n2)\


\D(nk)的元素个数不小于2.3.证明:存在唯一的函数f:N!N满足f(1)=f(2)=1;f(n)=f(f(n1))+f(nf(n1));n=3;4;


;并对每个整数m⩾2,求f(2m)的值.香港鹏博教育科技有限公司第1页共2页本文由LATEX编译高中数学奥林匹克探索数学学习本源研究数学思想方法关注数学发展动态拓展数学学习视野业精于勤行成于思第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克第29届中国数学奥林匹克江苏南京第二天(2013年12月22日8:0012:30)4.对整数n1,设n=p11


pll是n的标准分解式.定义!(n)=l;Ω(n)=1+


+l:是否对任意给定的正整数k及正实数,,总存在整数n1,使得!(n+k)!(n);Ω(n+k)Ω(n)?证明你的结论.5.设集合X=f1;2;


;100g,函数f:X!X同时满足(1)对任意x2X,都有f(x)̸=x;(2)对X的任意一个40元子集A,都有A\f(A)̸=∅.求最小的正整数k,使得对任意满足上述条件的函数f,都存在X的k元子集B,使得B[f(B)=X.注:对X的子集T,定义f(T)=fxj存在t2T;使得x=f(t)g.6.对于非空数集S,T,定义S+T=fs+tjs2S;t2Tg;2S=f2xjx2Sg;设n为正整数,A,B均为f1;2;


;ng的非空子集.证明:存在A+B的子集D,使得D+D2(A+B);且jDj⩾jAj
jBj2n:这里jXj表示有限集X的元素个数.香港鹏博教育科技有限公司第2页共2页本文由LATEX编译