2015年高考文科数学专题复习题：专题-- 第2讲 函数与方程及函数的应用

第2讲函数与方程及函数的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2013·湖南卷)函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()．A．3B．2C．1D．0解析由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2lnx图象的下方，故函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点．答案B2．“a3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由于“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”⇔f(－1)f(2)0⇔(－a＋3)(2a＋3)0⇔a－32或a3，则“a3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的充分不必要条件．答案A3．已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为()．A.12，0B．－2,0C．12D．0解析当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.答案D4．函数f(x)＝12x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为()．A．1B．2C．3D．4解析在同一坐标系内作出函数y＝12x及y＝sinx在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f(x)在[0,2π]上有两个零点．答案B5．设函数f(x)＝13x－lnx(x0)，则y＝f(x)()．A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点解析法一因为f1e＝13·1e－ln1e＝13e＋10，f(1)＝13－ln1＝130，f(e)＝e3－lne＝e3－10，∴f1e·f(1)0，f(1)·f(e)0，故y＝f(x)在区间1e，1内无零点(f(x)在1e，1内根据其导函数判断可知单调递减)，在区间(1，e)内有零点．法二在同一坐标系中分别画出y＝13x与y＝lnx的图象，如图所示．由图象知零点存在区间(1，e)内．答案D6．若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时f(x)＝1－x2.函数g(x)＝lgxx0，－1xx0，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点的个数为()．A．7B．8C．9D．10解析由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，求h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,4]内的零点，即求f(x)＝g(x)在区间[－5,4]上图象交点的个数．画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，由图可知两图象在[－5,4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.答案A7．(2013·重庆卷)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()．A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析由于abc，所以f(a)＝(a－b)(a－c)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0.因此有f(a)·f(b)0，f(b)·f(c)0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.答案A二、填空题8．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40cm、60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm2.解析设直角边为40cm和60cm上的矩形边长分别为xcm、ycm，则40－x40＝y60，解得y＝60－32x.矩形的面积S＝xy＝x60－32x＝－32(x－20)2＋600，当x＝20时矩形的面积最大，此时S＝600.答案6009．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝lnx－2x的零点，则[x0]＝________.解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且易判断函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln2－10，f(e)＝lne－2e0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2.答案210．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，lnx＋1，x0.若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是________．解析当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax，化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x0时，f(x)＝ln(x＋1)0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，故填[－2,0]．答案[－2,0]11．(2014·福建卷)函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x0，的零点个数是________．解析分段函数分别在每一段上判断零点个数，单调函数的零点至多有一个．当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)．所以在(－∞，0)上有一个零点．当x0时，f′(x)＝2＋1x0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln20，f(3)－ln30，f(2)·f(3)0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点．综上，函数f(x)的零点个数为2.答案212．(2014·天津卷)已知函数f(x)＝|x2＋5x＋4|，x≤0，2|x－2|，x0.若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．解析作出函数f(x)的图象，根据图象观察出函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象交点的情况，然后利用判别式等知识求解．画出函数f(x)的图象如图所示．函数y＝f(x)－a|x|有4个零点，即函数y1＝a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a0)．当a＝2时，函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点．故a2.当y＝a|x|(x≤0)与y＝|x2＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点，此时，由y＝－ax，y＝－x2－5x－4得x2＋(5－a)x＋4＝0.由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，则当1a2时，两个函数图象有4个交点．故实数a的取值范围是(1,2)．答案(1,2)三、解答题13．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.∴函数f(x)的零点为3和－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．∴b2－4a(b－1)0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)0⇒a2－a0，所以0a1.因此实数a的取值范围是(0,1)．14．(2014·湖州调研)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，依题意得，当0x80时，L(x)＝(0.05×1000x)－13x2－10x－250＝－13x2＋40x－250.当x≥80时，L(x)＝(0.05×1000x)－51x－10000x＋1450－250＝1200－x＋10000x.所以L(x)＝－13x2＋40x－2500x80，1200－x＋10000xx≥80.(2)当0x80时，L(x)＝－13(x－60)2＋950，此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．当x≥80时，L(x)＝1200－x＋10000x≤1200－2x·10000x＝1200－200＝1000.此时，当x＝10000x，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．因为9501000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．15．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.(1)证明：函数f(x)有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.(1)证明f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)是增函数．∵f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln30，∴f(2)·f(3)0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．又因f(x)在(0，＋∞)上是增函数，从而f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．(2)解由(1)知f(2)0，f(3)0.∴f(x)的零点x0∈(2,3)．取x1＝52，∵f52＝ln52－1＝ln52－lne0，∴f52·f(3)0，∴x0∈52，3.取x2＝114，∵f114＝ln114－12＝ln114－lne120，∴f114·f520.∴x0∈52，114且114－52＝14≤14，∴52，114即为符合条件的区间．新课标第一网系列资料