2015年高考文科数学专题复习题：专题--第1讲 三角函数的图象与性质

专题二三角函数、平面向量第1讲三角函数的图象与性质(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·青岛模拟)将函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为()．A．y＝sin12x－π3B．y＝sin2x－π6C．y＝sin12xD．y＝sin12x－π6解析将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin12x－π3的图象，然后将所得图象向左平移π3个单位得到y＝sin12x＋π3－π3＝sin12x－π6的图象．答案D2．(2013·浙江卷)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析φ＝π2⇒f(x)＝Acosωx＋π2＝－Asinωx为奇函数，∴“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝π2＋kπ(k∈Z)D/⇒φ＝π2.∴“f(x)是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．答案B3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0)的图象关于直线x＝π3对称，且fπ12＝0，则ω的最小值为()．A．2B．4C．6D．8解析由fπ12＝0知π12，0是f(x)图象的一个对称中心，又x＝π3是一条对称轴，所以应有ω0，2πω≤4π3－π12，解得ω≥2，即ω的最小值为2，故选A.答案A4．(2013·四川卷)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，－π2φπ2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()．A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3解析34T＝5π12－－π3，T＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝2kπ－π3，k∈Z.又φ∈－π2，π2，∴φ＝－π3，选A.答案A5．(2013·湖北卷)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()．A.π12B．π6C．π3D．5π6解析y＝3cosx＋sinx＝2sinx＋π3，向左平移m个单位长度后得到y＝2sinx＋π3＋m，由它关于y轴对称可得sin(π3＋m)＝±1，∴π3＋m＝kπ＋π2，k∈Z，∴m＝kπ＋π6，k∈Z，又m0，∴m的最小值为π6.答案B6．若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝()．A.23B．32C．2D．3解析由题意知f(x)的一条对称轴为直线x＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝4π3，从而ω＝32.答案B7．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2f(π)，则下列结论正确的是()．A．f1112π＝－1B．f7π10fπ5C．f(x)是奇函数D．f(x)的单调递增区间是kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)解析由f(x)≤fπ6恒成立知x＝π6是函数的对称轴，即2×π6＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，所以φ＝π6＋kπ，k∈Z，又fπ2f(π)，所以sin(π＋φ)sin(2π＋φ)，即－sinφsinφ.所以sinφ0，得φ＝π6，即f(x)＝sin2x＋π6，由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．答案D二、填空题8．若sinπ3＋α＝13，则sinπ6＋2α＝______.解析sinπ6＋2α＝－cosπ2＋π6＋2α＝－cos2π3＋2α＝2sin2π3＋α－1＝－79.答案－799．(2014·安徽卷)若将函数f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．解析∵函数f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin2x－φ＋π4＝sin2x＋π4－2φ，又∵g(x)是偶函数，∴π4－2φ＝kπ＋π2(k∈Z)．∴φ＝－kπ2－π8(k∈Z)．当k＝－1时，φ取得最小正值3π8.答案3π810．(2013·新课标全国Ⅰ卷)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.解析f(x)＝sinx－2cosx＝555sinx－255cosx＝5sin(x－φ)，其中sinφ＝255，cosφ＝55，当x－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋π2＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－255.答案－25511．已知函数f(x)＝3sin(ωx－π6)(ω0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是______．解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin2x－π6，那么当x∈0，π2时，－π6≤2x－π6≤5π6，所以－12≤sin(2x－π6)≤1，故f(x)∈－32，3.答案－32，312．(2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A0，ω0)．若f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝f2π3＝－fπ6，则f(x)的最小正周期为________．解析∵f(x)在π6，π2上具有单调性，∴T2≥π2－π6，∴T≥2π3.∵fπ2＝f2π3，∴f(x)的一条对称轴为x＝π2＋2π32＝7π12.又∵fπ2＝－fπ6，∴f(x)的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T＝7π12－π3＝π4，∴T＝π.答案π三、解答题13．(2014·西安五校二次模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈－6，－23时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．解(1)由图象知A＝2，T＝8＝2πω，∴ω＝π4，得f(x)＝2sinπ4x＋φ.由π4×1＋φ＝2kπ＋π2⇒φ＝2kπ＋π4，又|φ|π2，∴φ＝π4.∴f(x)＝2sinπ4x＋π4.(2)y＝2sinπ4x＋π4＋2sinπ4x＋2＋π4＝2sinπ4x＋π4＋2cosπ4x＋π4.＝22sinπ4x＋π2＝22cosπ4x，∵x∈－6，－23，∴π4x∈－3π2，－π6，∴当π4x＝－π6，即x＝－23时，y的最大值为6；当π4x＝－π，即x＝－4时，y的最小值为－22.14．已知函数f(x)＝2sinωx·cosωx＋23cos2ωx－3(其中ω0)，且函数f(x)的周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π4个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在－π6，π24上的单调区间．解(1)因为f(x)＝2sinωx·cosωx＋23cos2ωx－3＝sin2ωx＋3cos2ωx＝2sin2ωx＋π3，又因为函数f(x)的周期为π，且ω0，所以T＝2π2ω＝πω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x＋π3.将函数y＝f(x)的图象向右平移π4个单位后得到函数y＝2sin2x－π4＋π3＝2sin2x－π6的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin(4x－π6)的图象．由－π2＋2kπ≤4x－π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，得kπ2－π12≤x≤kπ2＋π6(k∈Z)；由π2＋2kπ≤4x－π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得kπ2＋π6≤x≤kπ2＋5π12(k∈Z)．故函数g(x)在－π6，π24上的单调递增区间为－π12，π24，单调递减区间为－π6，－π12.15．(2013·湖南卷)已知函数f(x)＝sinx－π6＋cosx－π3，g(x)＝2sin2x2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝335.求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解f(x)＝sinx－π6＋cosx－π3＝32sinx－12cosx＋12cosx＋32sinx＝3sinx，g(x)＝2sin2x2＝1－cosx.(1)由f(α)＝335，得sinα＝35，又α是第一象限角，所以cosα0.从而g(α)＝1－cosα＝1－1－sin2α＝1－45＝15.(2)f(x)≥g(x)等价于3sinx≥1－cosx，即3sinx＋cosx≥1.于是sinx＋π6≥12.从而2kπ＋π6≤x＋π6≤2kπ＋5π6，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z}．新课标第一网系列资料