2015年高考文科数学专题复习题：专题三-- 第2讲 数列求和及数列的综合应用

第2讲数列求和及数列的综合应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()．A．8B．10C．12D．14解析利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋3×22×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.答案C2．数列{an}的通项公式an＝1n＋n＋1，若{an}的前n项和为24，则n为()．A．25B．576C．624D．625解析an＝1n＋n＋1＝－(n－n＋1)，前n项和Sn＝－[(1－2)＋(2－3)＋…＋(n－n＋1)]＝n＋1－1＝24，故n＝624.故选C.答案C3．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()．A.n24＋7n4B．n23＋5n3C.n22＋3n4D．n2＋n解析设等差数列{an}的公差为d，由已知得a23＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，解得d＝12，故Sn＝2n＋nn－12×12＝n24＋7n4.答案A4．在等差数列{an}中，a1＝142，d＝－2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{bn}，则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是()．A．23B．24C．25D．26解析因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列{bn}，所以新数列的首项为b1＝a1＝142，公差为d′＝－2×3＝－6，则bn＝142＋(n－1)(－6)．令bn≥0，解得n≤2423，因为n∈N*，所以数列{bn}的前24项都为正数项，从25项开始为负数项．因此新数列{bn}的前24项和取得最大值．故选B.答案B5．已知各项都为正的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得am·an＝4a1，则1m＋4n的最小值为()．A.32B．53C．256D．43解析由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理有q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由am·an＝4a1，得aman＝16a21，即a212m＋n－2＝16a21，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么1m＋4n＝16(m＋n)1m＋4n＝164mn＋nm＋5≥1624mn·nm＋5＝32，当且仅当4mn＝nm，即n＝2m＝4时取得最小值32.答案A6．Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＝120，9S3＝S6，设Tn＝a1a2a3…an，则使Tn取最小值的n值为()．A．3B．4C．5D．6解析设等比数列的公比为q，故由9S3＝S6，得9×a11－q31－q＝a11－q61－q，解得q＝2，故TnTn－1＝an＝120×2n－1，易得当n≤5时，TnTn－11，即TnTn－1；当n≥6时，TnTn－1，据此数列单调性可得T5为最小值．答案C7．已知数列{an}的通项公式是an＝－n2＋12n－32，其前n项和是Sn，对任意的m，n∈N*且mn，则Sn－Sm的最大值是()．A．－21B．4C．8D．10解析由于an＝－(n－4)(n－8)，故当n4时，an0，Sn随n的增加而减小，S3＝S4，当4n8时，an0，Sn随n的增加而增大，S7＝S8，当n8时，an0，Sn随n的增加而减小，故Sn－Sm≤S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝a5＋a6＋a7＝10.答案D二、填空题8．设公比为q(q0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.解析由已知得a1＋a1q＝3a1q＋2，①a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝3a1q3＋2，②②－①得a1q2＋a1q3＝3a1q(q2－1)，即2q2－q－3＝0.解得q＝32或q＝－1(舍)．答案329．在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为________．解析在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得an＋15n＋1＝25×an5n＋35，①令an5n＝bn，则①式变为bn＋1＝25bn＋35，即bn＋1－1＝25(bn－1)，所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为b1－1＝a15－1＝－35，公比为25.所以bn－1＝－35×25n－1，即bn＝1－35×25n－1＝an5n，故an＝5n－3×2n－1.答案an＝5n－3×2n－110．(2013·陕西卷)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为________．解析左边为平方项的(－1)n＋1倍的和，右边为(1＋2＋3＋…＋n)的(－1)n＋1倍．答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·nn＋1211．设y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝________.解析设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f(0)＝1，所以b＝1，即f(x)＝kx＋1(k≠0)．由f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，得f2(4)＝f(1)·f(13)，即(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)．因为k≠0，所以k＝2，所以f(x)＝2x＋1，所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝5＋9＋…＋4n＋1＝n5＋4n＋12＝n(2n＋3)．答案n(2n＋3)12．(2014·临沂模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，若S2nSn(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝________.解析由题意可知，数列{cn}的前n项和为Sn＝nc1＋cn2，前2n项和为S2n＝2nc1＋c2n2，所以S2nSn＝2nc1＋c2n2nc1＋cn2＝2＋2nd4＋nd－d＝2＋21＋4－dnd.因为数列{cn}是“和等比数列”，即S2nSn为非零常数，所以d＝4.答案4三、解答题13．(2013·江西卷)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝n＋1n＋22a2n，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn564.(1)解由S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，由于{an}是正项数列，所以Sn＋10.所以Sn＝n2＋n.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，n＝1时，a1＝S1＝2适合上式．∴an＝2n.(2)证明由an＝2n，得bn＝n＋1n＋22a2n＝n＋14n2n＋22＝1161n2－1n＋22Tn＝1161－132＋122－142＋132－152＋…＋1n－12－1n＋12＋1n2－1n＋22＝1161＋122－1n＋12－1n＋221161＋122＝564.14．(2014·四川卷)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln2，求数列anbn的前n项和Tn.解(1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，有2a8＝4×2a7＝2a7＋2.解得d＝a8－a7＝2.所以Sn＝na1＋nn－12d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，它在x轴上的截距为a2－1ln2.由题意知，a2－1ln2＝2－1ln2，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1，从而an＝n，bn＝2n.所以Tn＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n，2Tn＝11＋22＋322＋…＋n2n－1.因此，2Tn－Tn＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n＝2－12n－1－n2n＝2n＋1－n－22n.所以Tn＝2n＋1－n－22n.15．(2013·天津卷)已知首项为32的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－1Sn(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．解(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝a5a3＝14.又{an}不是递减数列且a1＝32，所以q＝－12.故等比数列{an}的通项公式为an＝32×－12n－1＝(－1)n－1·32n.(2)由(1)得Sn＝1－－12n＝1＋12n，n为奇数，1－12n，n为偶数.当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn≤S1＝32，故0Sn－1Sn≤S1－1S1＝32－23＝56.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以34＝S2≤Sn1，故0Sn－1Sn≥S2－1S2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N*，总有－712≤Sn－1Sn≤56.所以数列{Tn}最大项的值为56，最小项的值为－712.新课标第一网系列资料