2015年河南省中考数学试题解析

2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题数学（解析版）注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。1.下列各数中最大的数是（）A.5B.3C.πD.-8A【解析】本题考查实数的比较大小.∵732.13，π≈3.14,∴5π38，∴最大的数为5.2.如图所示的几何体的俯视图是（）B【解析】本题考查实物体的俯视图的判断，俯视图是从上往下看得到的图形，从上面看可以看到轮廓是一个矩形和中间有一条竖着的实线，故B选项符合题意.3.据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（）A.4.0570×109B.0.40570×1010C.40.570×1011D.4.0570×1012D【解析】本题考查带计数单位的大数科学计数法.∵1亿=108，40570=4.057×104，∴40570亿=4.057×104×108=4.0570×1012.4.如图，直线a，b被直线e，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（）A.55°B.60°C.70°D.75°CDBA正面第2题dcba第4题A【解析】本题考查了平行线的判定和相交线与平行线性质求角度.∵∠1＝∠2，∴a∥b．∴∠5＝∠3=125°，∴∠4＝180°－∠5=180°－125°=55°．5.不等式组13,05xx的解集在数轴上表示为（）C【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示.由不等式x+5≥0，解得：x≥－5；由不等式3-x1，解得：x＜2，则该不等式组的解集为－5≤x＜2，故C选项符合.6.小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A.255分B.84分C.84.5分D.86分C【解析】本题考查加权平均数的应用.根据题意得86532590380285x—，∴小王成绩为86分.7.如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A.4B.6C.8D.10C【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，以及基本的尺规作图.设AE与BF交于点O，∵AF=AB，∠BAE=∠FAE，∴AE⊥BF，OB=21BF=3在Rt△AOB中，AO=22-453，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∴∠FAE=∠BEA，-520-520-520-520CDBAEFCDBGA第7图∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，∴AE=2AO=8.8.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）A.（2014,0）B.（2015，-1）C.（2015,1）D.（2016,0）B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.∵半圆的半径r=1，∴半圆长度=π，∴第2015秒点P运动的路径长为：2π×2015，∵2π×2015÷π=1007…1，∴点P位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x轴的下方.∴此时点P的横坐标为：1008×2-1=2015，纵坐标为-1，∴点P(2015，-1).第8题解图二、填空题（每小题3分，共21分）9.计算：(-3)0+3-1=.9.34【解析】313,1310）（，∴原式=1+31=34.10.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC=.23【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.∵DE∥AC，∴ECBEDABD，∴EC=23432BDBEDA.11.如图，直线y=kx与双曲线)0(2xxy交于点A（1，a）,则k=.2【解析】本题考查一次函数与反比例函数结合.把点A坐标（1，a）代入y=x2,得a=12=2∴点A的坐标为（1,2），再把点A（1,2）代入y=kx中，得k=2.PO第8题O1xyO2O3ECDBA第10题OA第11题xy12.已知点A（4，y1），B（2，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是..213yyy【解析】本题考查二次函数图象及其性质.方法一：解：∵A（4，y1）、B（2，y2）C（-2，y3）在抛物线y=21-2x（）上，∴y1=3，y2=5-42,y3=15.∵5-42＜3＜15，∴y2＜y1＜y3方法二：解：设点A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3，∵y=212)x（∴对称轴为直线x=2，∴d1=2,d2=2-2,d3=4∵2-2＜2＜4，且a=1＞0，∴y2＜y1＜y3.方法三：解：∵y=1)22x（，∴对称轴为直线x=2，∴点A(4,y1)关于x=2的对称点是（0，y1）.∵-2＜0＜2且a=1＞0，∴y2＜y1＜y3.13.现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是.85【解析】本题考查用列表法或画树状图的方法求概率.列表如下：12231（1,1）（1，2）（1，2）（1，3）2（2，1）（2,2）（2，2）（2，3）2（2，1）（2，2）（2,2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，2）（3,3）或画树状图如解图：开始第一次1223第二次1223122312231223第13题解图由列表或树状图可得所有等可能的情况有16种，其中两次抽出卡片所标数字不同的情况有10种，则P=851610．14.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作CD交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为.【分析】先观察阴影部分的图形为不规则图形，相到利用转化的思想，并作出必要的辅助线，即连接OE，得到CODOCEOBESSSS扇形扇形阴影，再分别计算出各图形的面积即可求解.3122π【解析】本题考查阴影部分面积的计算.如解图，连接OE，∵点C是OA的中点，∴OC＝21OA＝１，∵OE＝OA＝２，∴OC＝21OE.∵CE⊥OA，∴∠OEC＝30°，∴∠COE＝60°.在Rt△OCE中，CE＝3，∴Ｓ△OCE＝21OC·CE=23.∵∠AOB＝9０°，∴∠BOE＝∠AOB-∠COE＝30°,∴S扇形OBE=230360π2=3π，Ｓ扇形COD=2901360π=4π，∴[来CODOCEOBESSSS扇形扇形阴影=3π+23-4=2312.ECAOBD第14题解图15.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EOCDBA第14题EFCDBA第15题B′EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为.【分析】若△CDB恰为等腰三角形，判断以CD为腰或为底边分为三种情况：①DB′=DC；②CB′=CD；③CB′=DB′，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解.16或54【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想.根据题意，若△CDB恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若DB′=DC时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）；（2）当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去；（3）如解图，当CB′=DB′时，作BG⊥AB与点G，交CD于点H.∵AB∥CD，∴B′H⊥CD，∵CB′=DB′，∴DH=21CD=8，∴AG=DH=8，∴GE=AG-AE=5，在Rt△B′EG中，由勾股定理得B′G=12，∴B′H=GH-B′G=4.在Rt△B′DH中，由勾股定理得DB′=54，综上所述DB′=16或54.FGB'HDABCE第15题解图三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（8分）先化简，再求值：)11(22222abbababa，其中15a，15b.【分析】解答本题应从运算顺序入手，先将括号里通分，能因式分解的进行因式分解，然后将除法变乘法，最后约分化简成最简分式后，将a,b的值代入求解.解：原式=abbababa)(22）（……………………………………………………（4分）=baabba2=2ab.……………………………………………………（6分）当51,51ab时，原式=22152)15(15）（.…………（8分）17.（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD，PO.（1）求证：△CDP∽△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形.（1）【分析】要证△CDP≌△POB，已知有一组对应边相等，结合已知条件易得DP是△ACB的中位线，进而可得出一组对应角和一组对应边相等，根据SAS即可得证.解：∵点D是AC的中点，PC=PB，…………………………………………（3分）∴DP∥DB，ABDP21，∴∠CPD=∠PBO.∵ABOB21,∴DP=OB，∴△CDP≌△POB（SAS）.………………………………（5分）PAOCBD第17题解图(2)【分析】①易得四边形AOPD是平行四边形，由于AO是定值，要使四边形AOPD的面积最大，就得使四边形AOPD底边AO上的高最大，即当OP⊥OA时面积最大；②易得四边形BPDO是平行四边形，再根据菱形的判定得到△PBO是等边三角形即可求解.解：①4；………………………………………………………………………………（7分）②60°.（注：若填为60，不扣分）…………………………………………………（9分）POCDBA第17题【解法提示】①当OP⊥OA时四边形AOPD的面积最大，∵由（1）得DP=AO，DP∥DB，∴四边形AOPD是平行四边形，∵AB=4，∴AO=PO=2，∴四边形AOPD的面积最大为,2×2=4；②连接OD,∵由（1）得DP=AO=OB，DP∥DB，∴四边形BPDO是平行四边形，∴当OB=BP时四边形BPDO是菱形，∵PO=BO，∴△PBO是等边三角形，∴∠PBA=60°.18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。根据以上信息解答下列问题：（1）这次接受调查的市民总人数是；（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是；（3）请补全条形统计图；（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.（1）【分析】从条形统计图中得到“手机上网”的人数，从扇形统计图得到“手机上网”所占的百分比，相除即可得到本次调查的市名总人数.解：1000.………………………………………………………………………………（2分）【解法提示】本次调查的市名总人数为：400÷40％=1000.（2）【分析】根据扇形统计图可得：1—电脑上网、其他、报纸和手机上网各项所占的百分比从而求得用“电脑”获取新闻的最主要途径所占的百分比，再乘以360°即可求解.解：54°.（注：若填为54，不扣分）………………………………………………（4分）【解法提示】（1-9％-10％-26％-40％）×360°=54°.（3）【分析】由扇形统计