2015年兰州市中考数学试题解析

2015年兰州市初中毕业生学业考试数学（A）解析者：浙江省杭州市余杭区临平一中朱兵一、选择题（本题有15小题，每小题4分，共60分）【答案】C【考点解剖】本题考查的是二次函数的概念【解答过程】所谓二次函数，是指形如)0(2acbxxay的函数，其中a，b，c都是常数，且0a。首先，二次函数必须是整式函数，因此D就被排除；其次，函数的形式，那么它的最高次项是二次，并且由0a，就保证了它一定要含有二次项，所以A也被排除；再来看B和C的区别：仅从形式上看，似乎没什么区别，但由于二次函数必须要求0a，也就是说二次项系数必须不能为0，而这一点上，B选项是没有保证的，所以B选项也不对。这样，只剩下C。【易错点津】主要看二次项系数是确定的具体的数，还是含有字母的一般的数【归纳拓展】如函数1)1(2xmmxy或方程01)1(2xmmx，在没有明确给出字母m的取值范围之前，它们未必是关于x的二次函数或二次方程【题目星级】★★【答案】B【考点解剖】本题考查了三视图的相关知识，以及考生的空间概念能力【解答过程】就本题而言，其三视图如图那么容易得知只能是选项B。【题目星级】★★【答案】A【考点解剖】本题考查了二次函数的图象和性质的相关知识【思路点拔】如果将二次函数改写为顶点式：)0()(2anmxay，那么其顶点为（m，n），对称轴为直线mx（也有一些教科书将顶点式表示为nmxay2)(的形式，那么其顶点就是（m，n），对称轴为直线mx）【解答过程】这四个函数中，对称轴分别是A：2x；B：0x；C：0x；D：2x，所以只能是选项A【解题策略】在涉及到二次函数的对称轴问题时，可以将函数改写为顶点式nmxay2)(的形式，那么只要令0mx，其对称轴就便可求之。【题目星级】★★★【答案】D【考点解剖】本题考查了直角三角形中角的三角函数值的定义【思路点拔】直角三角形中，某锐角的余弦值等于夹这个角的那条直角边与斜边之比【解答过程】Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=AB2+(2AB)2=5AB2，∴AC=5AB，则cosA=555ABABACAB，选D【解题策略】一般地说，在涉及到某个锐角的三角函数值时，只要将之放到直角三角形中去，那么问题往往不难解决。在直角三角形中，我们将夹角α的那条直角边称为邻边，角α所对的那条边称为对边，那么角阿尔法的各三角函数值分别为斜边对边sin，斜边邻边cos，邻边对边tan。如果原题没有图，那么可以自己在草稿纸上画一个示意图；如果是在斜三角形中，那么可以根据实际情况构造一个直角三角形出来，将问题转化到直角三角形中去解决。【题目星级】★★【答案】B【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识【思路点拔】根据题意：AO:CO=BO:DO=5:2，而位似中心恰好是坐标原点O，所以点A的横、纵坐标都是点C横、纵坐标的2.5倍，因此选B。【题目星级】★★★【答案】C【考点解剖】本题考查的是等式的基本性质，以及乘法公式中的相关知识。【知识准备】完全平方公式：2222)(cababa【解答过程】将各选项左边展开，并整理成一般式：A：171682xx，0182xx；B：151682xx，0182xx；C：171682xx，0182xx；D：151682xx，0182xx，因此正确选项为C【思维模式】此类题的关键在于配方【一题多解】由于在配方过程中，需要在方程的两边加上相同的一个数；而我们在解方程过程中经常需要用到的“移项”，其实际上也是在方程两边都加上相等的东西，因此，无论方程如何变形，两边增减的“量”都是相等的，所以本题亦可采用如下方式进行：在原方程中，取0x，此时，左边=-1，右边=0，在各选择支中，如果变形是正确的话，左边应该始终比右边的值小1，在0x时，A左=16，A右=17；B左=16，B右=15，则B(即B被排除)；C左=16，C右=17；D左=16，D右=15，则D；现在留下A、C两个选项，难道两个都是正确的吗？当然不是。我们再换一个x的值试试：取1x，那么原式左边=-8，原式右边=0，也就是说：在同样的条件下，如果是正确的变形，那么一定是满足左边=右边-8，反之，如果不满足这一条件，那么就一定是错的。当1x时，A左=25≠A右-8，所以A这里需要提醒注意的是：这样的方法只能用来排除错误，不能保证正确。如在本题中，当1x时，虽然也有C左=C右-8，但不能就此判言C为正确，但因为A，B，D都已被排除，所以唯一留下的C选项必为对的。再啰嗦一句：上面介绍的“特殊值法”，在本题中其实反而显得很笨拙，但如果换个场合，有可能是一个高效、灵活的解题方法。【题目星级】★★【答案】D【考点解剖】本题考查特殊平行四边形的性质和判定【解答过程】略【题目星级】★★★【答案】A【考点解剖】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质【知识准备】一次函数)0(kbkxy的图象是一条直线，当0k时，这条直线从左到右是上升的；反之，它是下降的；反比例函数)0(kxky的图象是双曲线，当0k时，其图象分别位于第一、三两个象限，并且在每个象限（注意：仅仅是在该象限之内），图象上的点越来越低（从左到右）；反之，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每个象限内图象位置越来越高。【解答过程】观察A：从直线的方向向下（从左到右），说明其中的0k；再看双曲线，位于二、四象限，那么其比例系数0k，这样分析并没有看出什么不妥，但是我们也不宜急于下结论就说A是正确选项，因为或许还有哪个地方没有被我们注意到呢？观察B：从直线形态来看，应该有0k，但是从双曲线的形态来说，又应该是0k，这里是矛盾的，所以B；同样道理，C也是错误的；再看D：无论是直线还是双曲线，都满足0k，这里并没有看出什么矛盾。那么问题来了：A和D，到底哪个才是正确的选项？当我们感到山重水复时，如果再静下心来重新读题，很有可能会有新的发现，从而寻找到一条通向柳暗花明之路。在一次函数kkxy中，如果我们将表达式改写为)1(xky，那么就会发现：无论k取什么值，当1x时，其函数值都为0，换句话说：该直线一定通过（1，0）。从这一点分析，D当然就不符合这样的特征，所以D又被排除了，那么只能选A。【题目星级】★★★★【答案】B【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念【知识准备】在同一个圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；当圆周角为直角时，其所对的弦是直径。【解答过程】∠ACB和∠AOB都是⊙P中同一条弧所对的圆周角，所以它们相等【归纳拓展】在其它类似题目中，我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同；再换一种场合，如果连结AB，还有可能需要说明AB是直径，或者点P在AB上。【题目星级】★★【答案】B【考点解剖】本题考查了菱形和正三角形的性质中的相关知识点【知识准备】菱形的四条边相等，对角相等，对角线互相垂直平分；等腰三角形底边上的高线平分底边和顶角。【思路点拔】由菱形的性质以及现有条件，可得△AEF是正三角形，而正三角形的面积等于边长的平方的43倍【解答过程】连结AC和BD，并记它们的交点为G，则有AC⊥BD，且AG=CG，BG=CG，△ABC中，AB=CB，∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形，正三角形△ABC中，AE和BG是中线，也是高线，可求得AE=BG=23AB=32，△BCD中，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，且EF=21BD=BG=32，记AC与EF的交点H，因为EF∥BD，AC⊥BD，所以AH⊥EF，且由相似形的性质，可得CH=21CG=41AC=1，则AH=AC-CH=4-1=3，则333322121AHEFSAEF。【题目星级】★★★★【答案】B【考点解剖】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质【知识准备】所谓某个量m，它增长了%p，意味着增长部分是%pm，那么它就由原来的m，增长到了（%pmm），也就是%)1(pm【思路点拔】我们可以将整个原价假设为1（如果你觉得不放心，也可以假设为a或m等与现有字母不冲突的任何字母），那么跌停后的价格就是0.9。之后两天中的第一天，是在0.9的基础上增加了x，那么就是到了)1(9.0x；接下去要注意的是：虽然第二天增长率同样为x，但是起步价变了，已经不是0.9，而是前一天收市之后的)1(9.0x，它是在)1(9.0x的基础上增加到．．．了)1(x倍（请注意增加．．和增加到．．．的区别），因此，现在的股价是)1()]1(9.0[xx，也就是2)1(9.0x。【解答过程】跌停后，股价为0.9，连续两天按照x的增长率增长后，股价为2)1(9.0x，根据题意，得方程1)1(9.02x，那么正确选项为B。【易错点津】首先必须要分清楚增加（或减少）的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系？其次，这个基础“1”前后是否发生了变化。【题目星级】★★★【答案】D【考点解剖】本题考查反比例函数的图象和性质，以及坐标系中的相关知识点。【思路点拔】反比例函数)0(kxky的图象关于原点对称，既然21xx，那么必有21yy，所以选D。【题目星级】★★★【答案】A【考点解剖】本题考查的是坐标系以及函数的图象的相关知识点【知识准备】以自变量x的值为横坐标，以对应函数值y为纵坐标所确定的点，称为函数图象上的一个点；所有函数图像上的点所构成的集合，称为函数的图象。【解答过程】点C坐标为（0，c），因为点C在y轴正半轴上，所以CO=cc，由已知，OA=OC，且点A在x轴负半轴，所以A（c，0），A（c，0）在抛物线上，则ccbca)()(02，即0)1(bacc，因为0c（否则点C在原点），所以01bac，即bac1，所以选A。【题目星级】★★★★【答案】C【考点解剖】本题考查二次函数的图象和性质、直角坐标系中的相关知识点【知识准备】二次函数)0(2acbxaxy的对称轴为直线abx2【解答过程】cxxy2的图象是一条开口向上，对称轴为21x的抛物线，点P（m，n）在抛物线上，由图知：当点P在x轴上方（0n）时，对应部分图形在直线1l左侧，或者直线2l右侧。此时，对应的x的值（即m的值）为1xm，或2xm，所以B，D；A选项的“当0n时，0m”，说的是“当点P在x轴下方时，它位于y轴的左侧”，由图可以看出：而这一点未必正确，因为点P也可能在y轴的右侧，所以A；由图我们看到：由于抛物线开口向上，且与x轴的交于点A和点B，那么抛物线上位于A，B两点之间部分在x轴下方；翻过来，当图象居于x轴下方时，对应的点必定在直线1l和直线2l之间，也就是说：当0n时，21xmx，所以选C。【题目星级】★★★★【答案】A【考点解剖】本题考查的是矩形性质，弧长的计算【知识准备】矩形的对角线相等，且互相平分；半径为r，圆心角为的弧的长度为180r【解答过程】连结OP，由矩形性质知：OP=MN，且它们相交于中点Q，则当点P沿着圆周转过45°时，点Q在以O为圆心，以OQ=1为半径的圆周上转过45°，因此只要求出以1为半径，45°圆心角所对弧的长便可。弧长计算公式忘记了怎么办？没关系，临时推导一下就行：整个圆的周长是2，那么所求弧长就等于45°圆心角在整个周角360°中所占的份额：360452，即4。【题目星级】★★★★二、填空题（本题有5小题，每小题4分，共20分）【答案】2015【考点解剖】本题考查了方程的解的概念【知识准备】能使方程两边的值相等的未知数的值，称为方程的解。【解答过程】因为1x是方程的解，所以02015)1()1(2ba，即02015ba，所以2015ba【题目星级】★★【答案】3【考点解剖】本题考查比例的基本性质【解答过程】因为kfedcba，且0fdb，所以f