初中数学竞赛______数论试题水平检测(二)

初中数学竞赛数论试题水平检测（二）(考试时间：90分钟满分：140分)一，填空题：（60分）1.满足2011422yx的整数对yx,的组数是__________.2.方程组1812233zyxzyx的正整数解zyx,,为.3.已知01a，并且1232829183030303030aaaaa，则10a等于.（其中x表示不超过x的最大整数）4.连续的n个自然数，在每个数写成标准的质因数分解式后，每个质因数都是奇数次幂，这样的n个连续自然数称为一个“连n奇异组”，如n＝3时，22＝21×111，23＝231，24＝23×31，则22,23,24就是一个“连3奇异组”.那么连n奇异组中n的最大可能值是.5.设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有对。6.已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是二，解答题：（80分）7，能否将2010写成k个互不相等的质数的平方和?如果能,试求k的最大值;如果不能,请简述理由.8.关于m和n的方程201176522nmnm是否存在整数解？如果存在，请写出一组解来；如果不存在，请说明理由.9.求关于a，b，c，d的方程组的所有正整数解.10.求所有正整数n，使得存在正整数122012xxx，，　，，满足122012xxx，且122012122012nxxx.11.求证：（1）一个自然数的平方被7除的余数只能是0,1,4,2.（2）对任意的正整数n，[642nnnn]不被7整除，其中x表示不超过x的最大整数。答案：1.02.（1,3,6）3.64.75.276.2257.解：（1）设ip为质数，若2010能写成k个质数的平方和，则当10k时,取最小的10个互不相等的质数的平方和,则有4+9+25+49+121+169+289+361+529+841=23972010，因此9.k（2）因为只有一个偶质数2，其余质数都是奇数，而奇数的平方仍是奇数，并且被8除余1.当k=9时，若2010=222222222123456789ppppppppp，其中必有一个偶质数的平方，8个奇质数的平方.左边被8除余2，右边被8除余4，等式不能成立.所以2010不能表示为9个不同质数的平方和，即9,8.kk当若8k时，若2010=2222222212345678pppppppp，这8个加项都是奇质数的平方.左边被8除余2，右边被8除余0，等式不能成立.所以2010不能表示为8个不同质数的平方和，即8,7.kk当k=7时，2010=22222221234567ppppppp，左边被8除余2，右边被8除余2，等式可能成立.也就是2010有可能表示为7个不同质数的平方和，我们试算可知，2222222237111317372010.综上可得2010可以写成k个互不相等的质数的平方和，k的最大值等于7.比如2222222201023711131737就是将2010写成7个互不相等的质数的平方和的一个例子.说明：2010表为7个互不相等的质数的平方和共有如下4种形式：答出一种即可.（没有推理，只给出一种表示法可得2分）222222223711131737201022222222357112931201022222222371317233120102222222235111923312010.事实上，我们还可以证明1,2,3,4,5,6.k所以2010只能表示为7个互不相等的质数的平方和.8.不存在9.解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0，所以，.不妨设a≤b≤c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而，a=2，或3.若a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.从而，b=3，4，5.相应地，可得c=15，(舍去)，5.当a=2，b=3，c=15时，d=90；当a=2，b=5，c=5时，d=50.若a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而，b=2（舍去），3.当b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).10.解：由于122012xxx，，　，都是正整数，且122012xxx，所以1x≥1，2x≥2，…，2012x≥2012．于是122012122012nxxx≤1220122012122012．…………（5分）当1n时，令12201220122201220122012xxx，，　，，则1220121220121xxx.…………（10分）当1nk时，其中1≤k≤2011，令1212kxxxk，，　，，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012kkxkkxkkxk,，，则1220121220121(2012)2012kkxxxk1kn．综上，满足条件的所有正整数n为122012，　，　，　．11.（1）设m=7k+r分类(2)令M=n（n+2）（n+4）（n+6）=（n²+6n）(n²+6n+8)令k=n²+6n，所以M=K（k+8）。可得整数部分为k+3，即（n+3）²—6，此式不能被7整除.