初中数学竞赛辅导资料(5)

初中数学竞赛专题选讲图象法一、内容提要1.在讲（一元二次方程）中，根据根的判别式和根与系数的关系，介绍了存在实数根，有理数根，整数根的充分必要条件.2.要讨论两个实数根的符号，则可以建立不等式组.方程ax2+bx+c=0中，①有两个实数根的充分必要条件是00a②有两个正实数根的充要条件是00-0acab(a≠0包含在0ac之中)③有一正一负实数根的充要条件是0ac(a≠0，△0均已包含在内)④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是00abac3.在较小区间内讨论实数根，则常利用图象来建立不等式组.4.一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解，也可借助图象.二、例题例1..已知：方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两个实数根x1,x2满足：0x11x22.求：k的取值范围.(1990年全国初中数学联赛题)解：先画出二次函数y=7x2－(k+13)x+k2－k－2的图象的略图.根据图象的开口方向是向上，它与横轴有两个交点，这两点在点(1，0)的两旁，的大体位置是：分析图象可知当x=0时，y0,记作f(0)0；当x=1时，y0,f(1)0；当x=2时，y0,f(2)0.得不等式组.02)13(202)13(02222kkkkkkkk；；1解这个不等式组得.304221kkkkk或；；或∴原不等式组解集是－2k－1；或3k4.答：k的取值范围是－2k－1；或3k4时.本题由三个点的横坐标0，1，2和它所对应的纵坐标范围建立不等式组.例2.m取什么值时，方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1？解：根据抛物线y=x2+(m+2)x+3的开口向上；它在纵轴的交点为(0，3)；与横轴的两个交点都在点(1，0)右边.得图象的略图如下（左、右两图）：据图象分析当x=1时，y0；顶点横坐标－ab21；纵坐标abac442≤0.得不等式组.04)2(1212203212mmm，，解这个不等式组得.32232246mmmm或，，∴原不等式组解集是－6m≤－2－23.答：当－6m≤－2－23时，方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1.本题只有一个特殊点，故用了抛物线的顶点横、纵坐标.例3.已知：方程(1－m2)x2+2mx－1=0的两个实数根都在0到1之间(不包括0和1).求：m的取值范围.解：函数y=(1－m2)x2+2mx－1的图象可由：①它在纵轴上的截距是－1；②与横轴的两个交点在0到1之间.1331得知开口是向下的，画出略图如下：：从图象分析：a0；f(1)0；0－ab21.得不等式组.1)1(220012101222mmmmm，，解这个不等式组得.25125102011mmmmmmm或，，或，或∴不等式组解集是m2.本题因抛物线的顶点横坐标，上下都有界，故不用顶点的纵坐标.例4.已知：方程x2+2px+6=0的两个实数根，一根大于1，另一根小于1.求：p的值.解：根据抛物线y=x2+2px+6的开口向上，它与横轴的两个交点的大致位置，画出略图如下：根据图象可知：f(1)0；顶点纵坐标abac4420.得不等式组.044)6(406212pppp，解这个不等式组，得.237ppp或，∴不等式组解集是p－7.答(略)本题因顶点横坐标无法定，故只有两个不等式.其实只要f(1)0就可以了.关键是建立充分必要条件的不等式组.1－11－11注意：(1)若方程可求得有理数根时，则可以直接建立不等式组.如：例3可得两个根为11m和11m；(2)若符合基本对称式，则可用韦达定理来解.如：例4可用x1－10,x2－10建立不等式(x1－1)(,x2－1)0.左边去括号后，再转化为关于p的不等式.例5.a取什么值时，方程12ax无解？②有3个解？③两个解？解：画出函数y=1-2x和y=a的图象，它们的交点就是方程的解.∵直线y=a平行于横轴.∴①当a＜－1时，直线y=a与y=1-2x没有交点，即方程无解；②当a＝1时，直线y=1与.y=1-2x恰好有3个公共点，即方程12ax有3个解.；③.当a=－1或a1时，y=a与y=1-2x都有2个公共点，就是方程有2个解.例6.求代数式|x+1|+|x－1|+|x+2|在－2x2区间内的最大值和最小值.解：作函数y=|x+1|+|x－1|+|x+2|的图象.由图象可知：当x=－1,y有最小值3；当x=2时，y有最大值8.∴代数式|x+1|+|x－1|+|x+2|有最大值8和最小值3.