初中数学竞赛讲座---整体的方法

整体的方法我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题．解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用．例题求解【例1】若x、y、z满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式yxzyx3200020002000的值为．(安庆市竞赛题)思路点拨原式=yxzyx3)(2000，视x+3y与x+y+z为两个整体，对方程组进行整体改造．【例2】若△ABC的三边长是a、b、c且满足22444cbcba，22444caacb，22444babac，则△ABC是()A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a、b、c的关系，不妨从整体叠加入手．【例3】已知219941x，求多项式20023)199419974(xx的值．思路点拨直接代入计算繁难，由已知条件得199412x，两边平方有理化，可得到零值多项式，整体代入求值．【例4】如图，凸八边形AlA2A3A4A5A6A7A8中，∠Al=∠A5，∠A2=∠A6，∠A3=∠A7，∠A4=∠A8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．(山东省竞赛题)思路点拨将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可知向外作辅助线，关键是证明对边平行．【例5】已知4×4的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数?思路点拔若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行(或一列)中4个数的符号，但并不改变这4个数乘积的符号，这是解本例的关键．注由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧．从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握．学历训练1．如果012xx，则3223xx=．(“希望杯”邀请赛试题)2．已知2311222xx，那么)1()1111(2xxxxx=．(2001年武汉市中考题)3．已知x是实数，且满足222322xxxx，那么xx22的值是．(河南省竞赛题)4．如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE且AB=DE，BC∥EF且BC=EF，AF∥CD且AF=CD，∠ABC=∠DEF=120°，∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD=3，则该六边形ABCDEF的面积是．5．已知251a，251b，则722ba的值为()A．3D．4C．5D．6(2003年杭州市中考题)6．买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元；则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需()A．20元B．25元C．30元D．35元(江苏省竞赛题)7．已知a1，a2，…a2002均为正数，且满足M=(a1+a2+…+a2001)(a2+a3+…+a2001－a2002)，N＝(a1+a2+…+a2001－a2002)(a2+a3+…+a2001)，则M与N之间的关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．无法确定(2002年绍兴市竞赛题)8．已知5ba，且10bc，则acbcabcba222等于()A．105D．100C．75D．50(北京市竞赛题)9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只填一个数，使得“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于P，求户的最大值．(江苏省竞赛题)10．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的度数．11．设2122ba，2122cb，则222222444accbbacba的值等于．(“希望杯”邀请赛试题)12．已知32xyx，22yxy，则2232yxyx2=．(湖北省数学竞赛题)13．若22x，22y，则66yx的值是．14．正数x1、x2、x3、x4、x5、x6同时满足1165432xxxxxx，2265431xxxxxx，3365421xxxxxx，4465321xxxxxx，6564321xxxxxx，9654321xxxxxx，则x1+x2+x3+x4+x5+x6z的值为．(上海市竞赛题)15．已知实数x，y满足xy+x+y=9，2022xyyxz，则22yx的值为()A．6B．17C．1D．6或1716．如图，在四边形ABCD中，AB=4－2，BC＝1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于()A．60°B．67．5°C．75°D．无法确定(重庆市竞赛题)17．若实数a、b满足0582aa，0582bb，则1111baab的值为()A－20B．2C．2或－20D．2或2018．设a、b、c为实数，322bax，622cby，222acz，则x、y、z中至少有一个()A．大于零B．等于零C．不大于零D．小于零(全国初中数学竞赛题)19．如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5－3，CD=6，求AD的长．20．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成你的填图．21．求系数a、b、c间的关系式，使方程000222baxcxacxbxcbxax有实数解．22．有三种物品，每件的价格分别为2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品，总数共16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件?价格为2元的物品最少买几件?(河南省竞赛题)