上海市六校2014届高三3月第二次联考数学文试题

2014年上海市高三年级六校联考数学试卷（文科）2014年3月6日（完卷时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.已知,2，4sin5，则tan．2.已知集合1,Am，|1Bxx，若AB，则实数m的取值范围是．3.设等差数列na的前项和为nS，若911a，119a，则19S等于．4.若2iia是纯虚数（i是虚数单位），则实数a的值为．5.抛物线24yx的焦点到双曲线2214xy的渐近线的距离是．6.已知向量2a，1b，1ab，则向量a与ab的夹角为．7.执行右图的程序框图，如果输入6i，则输出的S值为．8.不等式1011axx对任意Rx恒成立，则实数a的取值范围是．9.若na是*2,2,nxnnxNR展开式中2x项的系数，则2323222limnnnaaa．10.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23的扇形，则此圆锥的体积为．开始输入i1nni？输出S0S结束SSn1nn否是11.设,xyR，若不等式组320,220,10xyxyaxy所表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数a的取值范围是．12.从1,2,,9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数2fxaxbxc的系数，则使得12fZ的概率为．13.已知点F为椭圆:C2212xy的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为4,3，则PQPF取最大值时，点P的坐标为．14.已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O直线l，实数x满足关系式220xOAxOBOC，有下列命题：①20OBOCOA；②20OBOCOA；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点．则正确的命题是．（写出所有正确命题的编号）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15.若,abR，则“ab成立”是“22ab成立”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件16.下列函数中，既是偶函数，又在区间1,2内是增函数的为（）（A）2logyx（B）cos2yx（C）222xxy（D）22log2xyx17.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是（）A）且m（B）且m∥（C）mn且n（D）mn且18.对于函数fx，若存在区间,Amn，使得,yyfxxAA，则称函数fx为“可等域函数”，区间A为函数fx的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）（A）sin2fxx（B）221fxx（C）21xfx（D）2log22fxx三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程．19.（本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且1cos22AC．（1）若3a，7b，求c的值；（2）若sin3cossinfAAAA，求fA的取值范围．20.（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．如图，几何体EFABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，//ABCD，ADDC，2AD，4AB，90ADF．（1）求异面直线BE和CD所成角的大小；（2）求几何体EFABCD的体积．21.（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：250900yxx，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当10,15x时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？BFEDCA22.（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．已知各项为正数的数列na中，11a，对任意的*kN，21221,,kkkaaa成等比数列，公比为kq；22122,,kkkaaa成等差数列，公差为kd，且12d．（1）求2a的值；（2）设11kkbq，证明：数列kb为等差数列；（3）求数列kd的前k项和kD．23.（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．如图，圆O与直线320xy相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线3yx在第一象限的交点为B.点C为圆O上任一点，且满足OCxOAyOB，动点,Dxy的轨迹记为曲线．（1）求圆O的方程及曲线的轨迹方程；（2）若直线yx和yx分别交曲线于点A、C和B、D，求四边形ABCD的周长；（3）已知曲线为椭圆，写出椭圆的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标．2014年上海市高三年级六校联考PBOxyAC数学试卷（文科）答案一、填空题1.432.1,3.1904.125.2556、67.218.4,09.810.22311、1[2,]312.419013.0,114．①③⑤二、选择题15.C16.A17.C18.B三、解答题19.解：（1）在△ABC中，ABC．所以coscos22ACB1sin22B．26B，所以3B．………………3分由余弦定理2222cosbacacB，得2320cc．解得1c或2c．………………6分（2）sin(3cossin)fAAAA31cos2sin222AA1sin262A.………………9分由（1）得3B，所以23AC，20,3A，则32,662A.∴sin2(1,1]6A.∴31,22fA.∴fA的取值范围是31,22.………………12分20.解：（1）解法一：在CD的延长线上延长至点M使得CDDM,连接,,MEMBBD.由题意得，ADDC，ADDF，,DCDF平面CDEF，∴AD平面CDEF，∴ADDE，同理可证DE面ABCD.∵//CDEF，CDEFDM，∴EFDM为平行四边形，∴//MEDF.则MEB（或其补角）为异面直线DF和BE所成的角.………………3分由平面几何知识及勾股定理可以得2226210MEBEBM，，在MEB△中，由余弦定理得2223cos26MEBEBMMEBMEBE．∵异面直线的夹角范围为0,2，∴异面直线DF和BE所成的角为3arccos6．………………7分解法二：同解法一得,,ADDCDE所在直线相互垂直，故以D为原点，,,DADCDE所在直线分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，………………2分可得0,0,0,0,2,2,2,4,0,0,0,2DFBE，∴(0,2,2),(2,4,2)DFBE，NMBFEACDBFEDCAxyz得22,26DFBE.………………4分设向量,DFBE夹角为，则022422cos2226DFBEDFBE36．∵异面直线的夹角范围为0,2，∴异面直线DF和BE所成的角为3arccos6．………………7分（２）如图，连结EC，过B作CD的垂线，垂足为N，则BN平面CDEF，且2BN.………………9分∵EFABCDVEABCDBECFVV……………11分1133ABCDEFCSDESBN△△1111(42)222223232163.∴几何体EFABCD的体积为163.……14分21.解：（1）根据题意得，利润P和处理量x之间的关系：(1010)Pxy22050900xxx270900xx………………2分235325x，[10,15]x.∵35[10,15]x，235325Px在[10,15]上为增函数，可求得[300,75]P.………………5分∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．………………7分（2）设平均处理成本为NBFEDCA90050yQxxx………………9分90025010xx，………………11分当且仅当900xx时等号成立，由0x得30x．因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．………………14分22.解：（1）由题意得2213322aaaaa，2222aa，22a或21a.………………2分故数列na的前四项为1,2,4,6或1,1,1,3.………………4分（2）∵21221,,kkkaaa成公比为kq的等比数列，212223,,kkkaaa成公比为1kq的等比数列∴212kkkaaq，22211kkkaaq又∵22122,,kkkaaa成等差数列，∴212222kkkaaa.得21212112kkkkkaaaqq，112kkqq，………………6分111kkkqqq，∴1111111kkkkqqqq，111111kkqq，即11kkbb.∴数列数列kb为公差1d等差数列，且11111bq或111112bq.……8分∴111kbbkk或32kbk.………………10分（3）当11b时，由（2）得11,1kkkkbkqqk.221211kkakak，22222121321121231121111kkkkkaaakkaakaaakk，2121kkkaakkq，2121231,2kkkkkkkkadaakDq.………………13分当112b时，同理可得42kdk，22kDk.………………16分解法二：（2）对1,1,1,3,这个数列，猜想*2123Nmmqmm，下面用数学归纳法证明：ⅰ）当1m时，12111213q，结论成立.ⅱ）假设*Nmkk时，结论成立，即2123kkqk.则1mk时，由归纳假设，222121212121,2323kkkkkkaaaakk.由22122,,kkkaaa成等差数列可知222122122121223kkkkkkaaaak，于是221212121kkkakqak，∴1mk时结论也成立.所以由数学归纳法原理知*2123Nmmqmm.………………7分此时1132112123kkbkkqk.同理对1,2,4,6,这个数列，同样用数学