上海市虹口区2013届高三下学期二模数学（理）试题

虹口区2013年数学学科高考练习题(理科)（时间120分钟，满分150分）2013.4一、填空题（每小题4分，满分56分）1、函数1)12()(xkxf在R上单调递减，则k的取值范围是．2、已知复数iiz1)1(3，则z．3、已知31cossinsincos，则)(2cos．4、设nx)21(展开式中二项式系数之和为na，各项系数之和为nb，则nnnnnbabalim．5、已知双曲线与椭圆161622yx有相同的焦点，且渐近线方程为xy21，则此双曲线方程为．6、如果14logba，则ba的最小值为．7、数列na的通项2sinnnan，前n项和为nS，则13S．8、设1F、2F是椭圆1422yx的两个焦点，点P在椭圆上，且满足221PFF，则21PFF的面积等于．9、从集合3,2,1的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为，则的数学期望E．10、对于Rx，不等式aaxx2122恒成立，则实数a的取值范围是．11、在ABC中，1AB，2AC，2)(ABACAB，则ABC面积等于．12、将边长为2的正方形沿对角线AC折起，以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积最大值等于．13、设)2(log1nann)(Nn，称kaaaa321为整数的k为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为．14、已知函数aaxxaxaxxf2222)1()(22的定义域是使得解析式有意义的x的集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则实数a的取值范围是．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、直线tytx121的倾斜角等于（）.A6.B3.C21arctan.D2arctan16、已知函数)2cos()2sin(2xxy与直线21y相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为1M，2M，3M，……，则131MM等于（）.A6.B7.C12.D1317、若22，0，Rm，如果有0sin3m，0cos)2(3m，则)cos(值为（）．.A1.B0.C21.D118、正方体1111DCBAABCD的棱上．．到异面直线AB，1CC的距离相等的点的个数为（）.A2．.B3．.C4．.D5．三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，PA平面ABCD，矩形ABCD的边长1AB，2BC，E为BC的中点．（1）证明：DEPE；EDCBAP（2）如果2PA，求异面直线AE与PD所成的角的大小．20、（本题满分14分）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量)cos2,sin2(BBm，)cos,cos3(BBn，且1nm．（1）求角B；（2）若2b，求ABC的面积的最大值．[来源:Z*xx*k.Com]21、（本题满分14分）已知复数ibaznnn，其中Ran，Rbn，Nn，i是虚数单位，且izzznnn221，iz11．（1）求数列na，nb的通项公式；（2）求和：①13221nnaaaaaa；②1154433221)1(nnnbbbbbbbbbb．22、（本题满分16分）已知抛物线C：pxy22)0(p，直线l交此抛物线于不同的两个点),(11yxA、),(22yxB．[来源:学|科|网Z|X|X|K]（1）当直线l过点)0,(pM时，证明21yy为定值；（2）当pyy21时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）如果直线l过点)0,(pM，过点M再作一条与直线l垂直的直线l交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）定义域为D的函数)(xf，如果对于区间I内)(DI的任意两个数1x、2x都有)]()([21)2(2121xfxfxxf成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．（1）判断函数xxflg)(在R上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数xaxxf2)(在]2,1[上是“凸函数”，求实数a的取值范围；（3）对于区间],[dc上的“凸函数”)(xf，在],[dc上任取1x，2x，3x，……，nx．①证明：当kn2（Nk）时，)]()()([1)(2121nnxfxfxfnnxxxf成立；[来源:Zxxk.Com]②请再选一个与①不同的且大于1的整数n，证明：)]()()([1)(2121nnxfxfxfnnxxxf也成立．EDCBAP虹口区2013年数学学科高考练习题答案（理）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、)21,(；2、2；3、97；4、1；5、12822yx；[来源:学科网ZXXK]6、1；7、7；8、1；9、712；10、]3,1[；11、23；12、322；13、9；14、07a或2a；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、C；16、A；17、B；18、C；三、解答题（满分74分）19、(12分)解：（1）连AE，由1BEAB，得2AE，同理2DE，2224ADDEAE，由勾股定理逆定理得90AED，AEDE．……………………3分由PA平面ABCD，得DEPA.由AEDE，DEPAAAEPA，得DE平面PAE．DEPE．…………6分（2）取PA的中点M，AD的中点N，连MC、NC、MN、AC．AENC//，PDMN//，MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小．………………8分由2PA，1AB，2BC，得2MNNC，6MC，21222622cosMNC，32MNC．异面直线PD与AE所成的角的大小为3．…………12分注：用向量解相应给分．20、（14分）解：（1）1nm，1cos2cos3sin22BBB，22cos2sin3BB，1)62sin(B，……………………5分又B0，611626B，262B，3B………………7分（2）2b，Baccabcos2222，3cos2422acca，即acca224…9分acacacacca2422，即4ac，当且仅当2ca时等号成立．…12分343sin21acBacS，当2cba时，3)(maxABCS．…………14分21、（14分）解：（1）iibaz1111，11a，11b．由izzznnn221得ibaiibaibaibannnnnnnn)2(32)()(211，2311nnnnbbaa………………3分数列na是以1为首项公比为3的等比数列，数列nb是以1为首项公差为2的等差数列，13nna，12nbn．……………………6分（2）①由（1）知13nna，2113kkkkaaaa,数列1nnaa是以3为首项，公比为23的等比数列．838391)31(312213221nnnnaaaaaa．………………9分②当kn2，Nk时，)()()()1(122212544332211154433221kkkknnnbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbnnkkbbkbbbbbbkkk22482)(4)(44442222242242当12kn，Nk时，1154433221)1(nnnbbbbbbbbbb122)34)(14(48)()()(22221212221254433221nnkkkkbbbbbbbbbbbbbbkkkkkk又1n也满足上式为偶数时当为奇数时当nnnnnnbbbbbbbbbbnnn22122)1(221154433221………14分22、（16分）解：（1）l过点)0,(pM与抛物线有两个交点，设pmyxl:，由pxypmyx22得02222ppmyy，2212pyy．……………………4分（2）当直线l的斜率存在时，设bkxyl:，其中0k（若0k时不合题意）．由pxybkxy22得0222pbpyky．pkpbyy221，从而2kb．………6分从而2kkxy，得0)21(ykx，即021yx，即过定点)0,21(．………………8分当直线l的斜率不存在，设0:xxl，代入pxy22得022pxy，02pxy，ppxpxpxyy000212)2(2，从而210x，即21:xl，也过)0,21(．综上所述，当pyy21时，直线l过定点)0,21(．…………10分（3）依题意直线l的斜率存在且不为零，由（1）得点P的纵坐标为pmyyyP)(2121，代入pmyxl:得ppmxP2，即),(2pmppmP．由于l与l互相垂直，将点P中的m用m1代，得),(2mppmpQ．…………12分设),(yxN，则)(21)(2122mppmyppmpmpx消m得)2(22pxpy………………14分由抛物线的定义知存在直线815px，点)0,817(p，点N到它们的距离相等．………16分23、（18分）解：（1）设1x，2x是R上的任意两个数，则01lg)(4lg2lg2lglg)2(2)()(2212121212121xxxxxxxxxxfxfxf)]()([21)2(2121xfxfxxf．函数xxflg)(在R上是“凸函数”．……4分[来源:学_科_网]（2）对于]2,1[上的任意两个数1x，2x，均有)]()([21)2(2121xfxfxxf成立，即)]()[(212)2(22212121221xaxxaxxxaxx，整理得)()(21)(2121221221xxxxxxaxx………………7分若21xx，a可以取任意值．若21xx，得)(212121xxxxa，1)(2182121xxxx，8a．综上所述得8a．………………10分（3）①当1k时由已知得)]()([21)2(2121xfxfxxf成立．假设当mk)(Nm时，不等式成立即)]()()([21)2(2211221mkxfxfxfxxxfmm成立．那么，由dxxxcmm2221，dxxxcmmmmm2222212得]}22[21{)2(22221222112211mmmmmmmmmxxxxxxfxxxf)]2()2([21222212221mmmmmmmxxxfxxxf)]}()()([21)]()()([21{21122212221mmmmxfxfxfxfxfxfmm)]()()([2112211mxfxfxfm．即1mk时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．……………………15分②