上海市高三数学六校联考卷（2015.3）

2015年上海市高三年级六校联考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．计算：3i1i（为虚数单位）的虚部是.2.已知集合2{|10}Mxx，2{|log(2),}NyyxxM，则MN.3．若1sin()63，则2cos(2)3.4.已知等比数列{}na的公比为q，其前n项和为nS，若396,,SSS成等差数列，则3q=.5.函数32xya（0,1aa）的图像恒过定点A，若点A在直线1xymn上，且0,0mn，则3mn的最小值为.6.已知函数2,0,()4,0,xxfxxxx若()3fx，x的取值范围是.7.在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:5ABC，则最大角等于．8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高cm8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为cm6，如果不计容器的厚度，则球的体积为.9.已知数列{}na的前n项和为nS，满足130nnnaSS（*2,nnN），113a，则nna的最小值为.10.在ABC中，02,45,BCAB为锐角，点O是ABC外接圆的圆心，则OABC的取值范围是.11．矩阵的一种运算abxaxbycdycxdy,该运算的几何意义为平面上的点(,)xy在矩阵abcd的作用下变换成点(,)axbycxdy,若曲线22421xxyy在矩阵11ab的作用下变换成曲线2221xy,则ab的值为.12.（理）1,2,,n共有!n种排列12,,,naaa（*2,nnN），其中满足“对所有1,2,,kn都有2kak”的不同排列有种.（文）1,2,3,4,5共有5!种排列12345,,,,aaaaa，其中满足“对所有1,2,3,4,5k都有2kak”的不同排列有种.13.（理）设函数()fx的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意xD，都有xkD，且()()fxkfx恒成立，则称函数()fx为D上的“k型增函数”．已知()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()||2fxxaa，若()fx为R上的“2015型增函数”，则实数a的取值范围是____________．（文）设集合222{(,)|(2),,}2mAxyxymxyR,{(,)|221,,}BxymxymxyR,若AB则实数m的取值范围是14．（理）对于直角坐标平面内的任意两点11(,)Axy，22(,)Bxy，定义它们之间的一种“折线距离”：1212||||||||ABxxyy.给出下列六个命题：①若点C在线段AB上，则||||||||||||ACCBAB;②在ABC中，若090C，则222||||||||||||ACCBAB；③在ABC中，||||||||||||ACCBAB；④到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；⑤到(1,0)A，(1,0)B两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；⑥到(1,0)A，(1,0)B两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）（文）一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是x，另一个是3x．若记前n次生成的所有数．．．中不同的数的个数为nT，且410T，则生成的初始值可以是x．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15.若,xyR，则不等式()0xyxy成立的一个充要条件是（）A.0xyB．0yxC．11xyD．0xy16.在复平面内,到复数13i3对应的点F的距离与到直线:3320lzz的距离相等的点的轨迹是()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.直线17.设[]x表示不超过x的最大整数（如[2]2,5[]14）,对于给定的*nN,定义(1)(1),(1)(1)xnnnnxCxxxx其中1,x,则当3,32x时，函数8xC的值域是A.16,283B.16,563C.284,328,56D.16284,,2833()18.（理）在平面直角坐标系xOy中，已知向量,ab，||||1ab，0ab.点Q满足2()OQab.曲线{|cossin,02}CPOPab,区域{|0||,}PrPQRrR.若C为两段分离的曲线，则()A.13rRB.13rRC.13rRD.13rR（文）已知函数()fx满足(2)()fxfx，且()fx是偶函数，当[0,1]x时，2()fxx，若在区间[1,3]内，函数()()gxfxkxk有4个不同的零点，则实数k的取值范围是A．11[,)43B．1(0,)2C．1(0,]4D．11(,)32()三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程．19.（本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．已知函数.2,4,2cos34sin2)(2］［xxxxf(1)求)(xf的最大值和最小值；(2)若不等式|()|2fxm在[,]42x上恒成立，求实数m的取值范围.20．（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．如图,直四棱柱1111ABCDABCD中,//ABCD,ADAB,2AB,2AD,13AA,E为CD上一点,1DE,3EC.(1)证明:BE平面11BBCC；(2)求点1B到平面11EAC的距离.21.（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．某市一条河上有6座相同的桥,每两座桥之间间距为2km,桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20m，拱顶距水面6m，桥墩高出水面4m，如图.现有一货船欲穿过这6座桥，该货船目前吃水线上部分中央船体高4.5m，宽16m.(1)该货船在现在状况下能否通过该桥孔？(2)若从货船到达第一座桥开始,河道开始涨潮,涨潮的速度为每分钟水面升高0.02米,而船的行驶速度为30/kmh,请问货船是否能顺利通过这6座桥?如不能则将被困在第几座桥？22.（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．已知动圆M经过点(0,1)G，且与圆22:(1)8Qxy内切.(1)求动圆M的圆心的轨迹E的方程.(2)已知S是轨迹E上一个动点，又(0,)Tm（0m），求||ST的最小值.(3)（文）以(1,2)d为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点A、B，在曲线E上是否存在点P使四边形OAPB为平行四边形（O为坐标原点）.若存在，求出所有的P点的坐标与直线l的方程；若不存在，请说明理由.（理）以(1,2)d为方向向量且在y轴上的截距为正的直线l交曲线E于不同的两点A、B，P是曲线E上一点、当OAPB为平行四边形（O为坐标原点）时.在x轴上是否存在点Q，使AQB为钝角，若存在，求Q点横坐标的取值范围.若不存在，请说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．给出下面的数表序列：其中表n（1,2,3,n）有n行，第1行的n个数是1,3,5，，21n，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.(1)写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（3n）（不要求证明）；(2)每个序列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12,，记此数列为nb,求和：32412231nnnbbbbbbbbb*()nN(3)若数列{}mc,其中3mmc，试确定所有的p,使数列{}mc中存在某个连续p项的和是表n（3n）第一行中的项，请用高中所学知识证明.上海市2015年高三六校联考模拟考试数学试卷答案一.填空题1.22.(0,1)3.794.125.166.(,3][1,9]7.348.35003cm9.1310.(2,22]11.212.（理）223n，（文）5413.（理）20156a，（文）1[,22]214.（理）①⑤⑥（文）1，（除159339,6,,3,,0,,3,22222外的其余实数均可）二.选择题15.C16.D17.D18.（理）A，（文）C三.解答题19.解：（1）∵()1cos23cos22πfxxx1sin23cos2xx12sin2.3πx（3分）又∵]2,4[ππx，∴6≤2x-3≤,32即2≤1+2sin(2x-3)≤3.∴maxmin()3,()2fxfx（6分）(2)∵|()|2fxm，即()2()2,,42πfxmfxx（2分）∴max()2mfx且min()2mfx（11分）∴m的取值范围是（1，4）。（12分）20.解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则2,1,2BFADEFABDEFC在36RtBFEBERtBFCBC中，＝，中，＝.在2229BCEBEBCEC中，因为＝＝,故BEBC(4分)由1111BBABCDBEBBBEBBCC平面，得，所以平面（7分）(2)1111111123ABCEABCVAAS三棱锥的体积＝＝（8分）221111111112RtADCACADDC在中，＝=3,同理,22112ECECCC＝=3，222113EAADEDAA＝=2因此115ACES3.（11分）设点B1到平面11EAC的距离为d,则111BEAC三棱锥的体积11153AECVdSd＝＝,从而1052,5dd（14分）（此题用向量法求得同样参照给分）21.解：（1）如下图，建立直角坐标系，则A（10，－2）在抛物线，求得抛物线方程为250xy（2分）∵船宽16m，而当时，y=-1.28m，即B（8，－1.28），（4分）∴B点离水面高度为6+（－1.28）=4.72（m），而船体水面高度为4.5m，∴可以直接通过.（8分）（2）可知船从一座桥到下一座桥需时4分钟，此时水面高出0.08米，到达第六座桥时水面高出0.40米，由（1）B点离水面高度只剩下4.72-0.40=4.324.5,所以第六座桥无法顺利通过。（11分）4.724.52.7530.08，所以在第四座桥船行就将受阻（14分）22.解:（1）依题意可得||||22MGMQ，可知M到两个定点G、Q的距离和为常数，并且常数大于||GQ，所以P点的轨迹为椭圆，（2分）可以求得2a，1c，1b，所以曲线E的方程为1222yx．（4分）(2）设00(,)Sxy，则有220012yx，222200001||()(2)1,222STxymymmy（6分）①若202m，则2min||1STm（8分）②22m，则min|||2|STm（10分）（3）（文）假设E上存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．设直线l的方程为mxy2，)(11yxA，，)(22yxB，