江苏省第十九届初中数学竞赛试题与答案

江苏省第十九届初中数学竞赛试题与答案初三年级（第2试）一、选择题（每小题7分，共42分）以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内.1、已知整数,xy满足250xy，那么整数对(,)xy的个数是（D）（A）0（B）1（C）2（D）32、方程222xxx的正根的个数是（A）（A）0（B）1（C）2（D）33、在直角坐标系中，已知两点A(8,3)、B(4,5)以及动点C(0,)n、D(,0)m，则当四边形ABCD的周长最小时，比值mn为（C）（A）23（B）2（C）32（D）34、设一个三角形的三边长为正整数,,anb，其中bna。则对于给定的边长n，所有这样的三角形的个数是（D）（A）n（B）1n（C）2nn（D）1(1)2nn5、甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（C）（A）0（B）1（C）2（D）36、空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有（C）（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个二、填空题（每题7分，共56分）7、已知1222Sxxx，且12x，则S的最大值与最小值的差是1。8、已知两个整数a、b，满足010ba，且9aab是整数，那么数对(,)ab有7个。9、方程22229129xyxyxy的非负整数解是23xy，03xy，10xy，16xy.10、密码的使用对现代社会是极其重要的。有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序（自左至右、自上而下）与26个自然数1，2，3，…，25，26对应（见下表）。QWERTYUIOPASD12345678910111213FGHJKLZXCVBNM14151617181920212223242526设明文的任一字母对应的自然数为x，译为密文字母后对应的自然数为x。例如，有一种译码方法按照以下变换实现：xx，其中x是(32)x被26除所得的余数与1之和(126)x。则1x时，6x，即明文Q译为密文Y；10x时，7x，即明文P译为密文U。现有某变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数x：xx，x为(3)xb被26除所得余数与1之和(126,126)xb。已知运用此变换，明文H译为密文T，则明文DAY译成密文为CHQ.11、如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，60AOC，点P在AB的延长线上，且3PBBOcm。连结PC交半圆于点D，过P作PE⊥PA交AD的延长线于点E，则PE＝3cm。12、△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c。若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，则c可用a、b的代数式表示为2215()5cab.13、设m为整数，且关于x的方程22(5)40mxmxm有整数根，则m的值为4,16,4.FOrrBDCEAr第14题AEPCDO第11题14、已知△ABC的内切圆半径为r，60A，23BC则r的取值范围是01r.三、解答题（每题13分，共52分）15、对于实数a，只有一个实数值x满足等式211220111xxxaxxx试求所有这样的实数a的和.解：题中等式可化为22240xxa①当方程①有两个相等的实数根时，04244a，由此得172a，此时方程①有一个根12x，验证可知12x的确满足题中的等式当方程①有两个不相等的实数根时，442(4)0a，由此得72a若1x是方程①的根，则原方程有增根1x，代入①解得28a，此时方程①的另一个根2x，它确也满足题中的等式；若1x是方程①的根，则原方程有增根1x，代入①解得34a，此时方程①的另一个根0x，验证可知0x确满足题中的等式；因此172a，28a，34a即为所求，且123312aaa.16、若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同。如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕。现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的14.问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？解：（1）设装卸工作需x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干了4x小时，两人共干活()4xx小时，平均每人干活1()24xx小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，…，平均每人干活的时间也是1()24xx小时。据题设，得1()1024xx，解得16x（小时）.（2）共有y人参加装卸工作，由于每隔t小时增加一人，因此最后一人比第一人少干(1)yt小时，按题意，得116(1)164yt，即(1)12yt.解此不定方程得212yt，36yt，44yt，53yt，72yt，131yt即参加的人数2y或3或4或5或7或13.17、下列4个判断：（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；（3）三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；（4）一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例。解：判断（1）、（2）、（3）、（4）都不正确.判断（1）的反例：如图（1），在△ABC、△ABC中，AC＝AC，BC＝BC，高AH＝AH，但两个三角形不全等.判断（2）的反例：如图（2），在在△ABC、△ABC中，AB＝AB，AC＝AC，高AH＝AH，但两个三角形不全等.判断（3）的反例：设△ABC的三边长分别为AB＝16，AC＝24，BC＝36；△ABC的三边长分别为24AB，36AC，54BC。由于△ABC与△ABC的对应边成比例，故△ABC∽△ABC，从而它们有5个边角元素分别相等：AA，BB，CC，AC＝AB，BC＝AC，但它们不全等.判断（4）的反例：如图（3），在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，作BAFBAC，延长BC、FA交于点C，则高BF＝BE，AD＝AD，又AB＝AB，但△ABC与△ABC不全等。综上所述，题中4个判断都不正确.18、由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分。每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分，…，第12名运动员给12分。最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低分之差都不大于3。设各运动员的得分总和分别为1c，2c，…，12c，且12cc…12c，求1c的最大值。解：9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分，因为对于5位或5位以上的运动员中，至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5，而按照题意，这5名运动员中的每一位被各裁判所评的分不大于4，矛盾。因此，9名裁判至多给某4位运动员都评为1分.下面分情形讨论（1）如果所有裁判都给某一名运动员评分为1分，那么1c＝9；如果9名裁判评出的9个1分集中在两位运动员名下，那么其中必有一名运动员至少被5名裁判都评为1分，于是由题设可知，其余裁判给该运动员的评分不大于4，从而1514421c；（2）如果裁判评出的9个1分集中在三位运动员名下，那么，这三名运动员各自所得的总分之和不大于91939472，从而1123372cccc，故，124c；（3）如果9个1分为4名运动员拥有，那么这4名运动员各人所得总分之和等于9192939490，从而1490c，故23c.综上可知，124c.124c这种情形是可以实现的，见下表：1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A1B1432567910811122B1432567910811123B1432567910811124B4315279681110125B4315279681110126B4315279681110127B3142596711108128B314529671110812运动员评分裁判9B314259671110812合计2424243033666666878787108