高中数学竞赛专题讲座——集合与函数

竞赛试题选讲——集合与函数一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．（2006陕西赛区预赛）a,b为实数，集合{,1},{,0},:bMPafxxa表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则a+b的值等于（）A．-1B．0C．1D．12．（2006天津）已知函数22)(2axxxf，当),1[x时，axf)(恒成立，则a的取值范围是（）A．12aB．12aC．23aD．13a3．（2006陕西赛区预赛）若关于x的方程323()25xaa有负数根，则实数a的取值范围为（）A．2(,)(5,)3B．3(,)(5,)4C．2(,5)3D．23(,)344．（2006陕西赛区预赛）若函数()fx满足22()log||||fxxxx，则()fx的解析式是（）A．2logxB．2logxC．2xD．2x5．（2006年江苏）函数3log3xy的图象是（）ABCD6．（2006陕西赛区预赛）已知实系数一元二次方程2(1)10xaxab的两个实根为12,xx且1201,1xx则ba的取值范围是（）A．1(1,]2B．1(1,)2C．1(2,]2D．1(2,)27．（2006年江苏）设fx是定义在R上单调递减的奇函数．若120xx，230xx，310xx则（）A．1230fxfxfxB．1230fxfxfxC．1230fxfxfxD．123fxfxfx8．（2006吉林预赛）如果集合A={y|y=－x2+1，x∈R+}，B={y|y=－x+1，x∈R}，则A与B的交集是（）A．(0，1)或(1，1)B．{(0，1)，(1，1)}C．{0，1}D．(－∞，1)9．（2006安徽初赛）已知lgx的小数部分为a，则21lgx的小数部分为（）A．2a的小数部分B．12a的小数部分C．22a的小数部分D．以上都不正确10．（2006吉林预赛）若函数f(x)=x3－6bx+3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是（）A．(0，1)B．(－∞，1)C．(0，+∞)D．(0，0.5)11．（2006年南昌市）设集合22{8|},{29|}AaaNBbbN,若ABP,则P中元素个数为（）A．0B．1C．2D．至少3个12．（2006年南昌市）设xxxf11)(,记1fxfx,若)),(()(1xffxfnn则)(2006xf（）A．xB．-x1C．xx11D．11xx二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．（2006安徽初赛）已知实数x、y满足55111511541545xxyy，则xy．2．（2006天津）已知集合},,,,{54321aaaaaCBA，且},{21aaBA，则集合A、B、C所有可能的情况有500种．3．（2006年南昌市）设M＝{1,2,…,100},A是M的子集,且A中至少含有一个立方数,则这种子集A的个数是____________.4．（2006年江苏）集合3,,010AxxnnNn，5,,06ByymmNm，则集合AB的所有元素之和为．5．（2006年南昌市）若曲线2|2|yx与直线3yxk恰有三个公共点,则k的值为___6．（2006年上海）已知函数:fR→R满足：对任意,xyR，都有11()()()20062005fxfyfxyxy，则所有满足条件的函数f为．7．（2006年上海）对于任意实数a，b，不等式max,,2006ababbC恒成立，则常数C的最大值是．（注：max,,xyz表示x，y，z中的最大者．）8．（2006年上海）设2()cosfxxaxbx，()0,R(())0,Rxfxxxffxx，则满足条件的所有实数a，b的值分别为．三、解答题（每小题20分，共60分）1．（2006年江苏）设集合12log32Axx，21aBxxa．若AB，求实数a的取值范围．2．(集训试题)已知a0，函数f(x)=ax-bx2,（1）当b0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2b；（2）当b1时，证明：对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2b；（3）当0b≤1时，讨论：对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件。3．(06重庆卷)已知定义域为R的函数()fx满足22()().ffxxxfxxx（I）若(2)3f，求(1)f;又若(0)fa，求()fa;（II）设有且仅有一个实数0x，使得00()fxx，求函数()fx的解析表达式.参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）CDDBAADBDDDCB二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．15；2．500；3．1009622;4．225;5．无解;6．1()2006fxx;7．1003;8．04a，b＝0;三、解答题（每小题20分，共60分）1．解：13Axx，30Bxxaxa．当0a时，03Bxaxa，由AB得03a；当0a时，30Bxaxa，由AB得1a；当0a时，20Bxx，与AB不符．综上所说，1,00,3a．2．解：（1）证：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-ba2)2+ba42，∴f(ba2)=ba42≤1，∵a0,b0,∴a≤2b。（2）证：（必要性），对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，因为b1，可推出f(b1)≤1。即a·b1-≤1，∴a≤2b，所以b-1≤a≤2b。（充分性）：因b1,a≥b-1，对任意x∈[0,1]，可以推出：ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1，即：ax-bx2≥-1；因为b1，a≤2b，对任意x∈[0,1]，可推出ax-bx2≤2b-bx2≤1，即ax-bx2≤1，∴-1≤f(x)≤1。综上，当b1时，对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2b。（3）解：因为a0,0b≤1时，对任意x∈[0,1]。f(x)=ax-bx2≥-b≥-1，即f(x)≥-1；f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1，即a≤b+1；a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx2≤1，即f(x)≤1。所以，当a0,0b≤1时，对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是：a≤b+1.3．22222)()2)(2)222322,(1)1f(0)=a,f(00)00,()xfxxxffaafaa222解：(I)因为对任意xR,有f(f(x)-x所以f(f(2)-2又由f(2)=3,得f(3-2）即若则即22000202000002000000220(II)(())().(),()()()0()0()xRffxxxfxxxxfxxxRfxxxxxxfxxxxfxxxxxxxfxxxfxx因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有又因为，所以，故=0或=1若=0，则，即2022020()1,()1.()1()xxxxxxfxxxfxxxfxxxxR但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故若=1，则有即易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数为竞赛试题选讲之《集合与函数练习》1．（06北卷）已知(3)4,1()log,1aaxaxfxxx＜，是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是（）A．(1，+)B．(-,3)C．[53，3]D．(1,3)2.（06全国II）函数f(x)＝i＝119|x－n|的最小值为（）A．190B．171C．90D．453.（山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（）A．－1B．0C．1D．24.（06天津卷）已知函数)(xfy的图象与函数xay（0a且1a）的图象关于直线xy对称，记]1)2(2)()[()(fxfxfxg．若)(xgy在区间]2,21[上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．),2[B．)2,1()1,0(C．)1,21[D．]21,0(5．（06天津卷）如果函数2()(31)(01)xxfxaaaaa且在区间0，∞上是增函数，那么实数a的取值范围是（）A．203，B．313，C．13，D．32，∞6.（06浙江卷）对a,bR,记max{a,b}=babbaa＜,,，函数f（x）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是（）AB0B．12C．32D．37．（2006安徽初赛）若关于x的方程212xkx恰有一个实根，则k的取值范围是．8．（2006陕西赛区预赛）设()fx是以2为周期的奇函数，且2()35f，若5sin5则(4cos2)f的值.9．（2006吉林预赛）已知函数xxf21log)(，设)(afax，)(bfby，)(cfcz，其中0cba1，那么x、y、z的大小顺序为.10．（2006吉林预赛）若关于x的方程)(log122axx有正数解，则实数a的取值范围为______.11．(集训试题)对每一实数对(x,y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=_________.12．(集训试题)设n是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于13．(集训试题)．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.14．(06重庆卷)设0,1aa，函数2lg(23)()xxfxa有最大值，则不等式2log570axx的解集为。15．（2006陕西赛区预赛）(20分)设123(,)(,)(2,)PxayQxyray、、是函数()2xfxa的反函数图象上三个不同点，且满足1322yyy的实数x有且只有一个，试求实数a的取值范围.16．(06重庆卷)已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；17．（2006天津）已知、是关于x的二次方程0222txx的两个根，且，若函数14)(2xtxxf．（Ⅰ）求)()(ff的值；（Ⅱ）对任意的正数1x、2x，求证：||2|)()(|21212121xxxxxxxxf．竞赛试题选讲之《集合与函数练习》答案1．解：依题意，有a1且3－a0，解得1a3，又当x1时，（3－a）x－4a3－5a，当x1时，logax0，所以3－5a0解得a35，所以1a3故选D2．解析:191()12319nfxxnxxxx表示数轴上一点到1,2,3…19的距离之和,可知x在1—19最中间时f(x)取最小值.即x=10时f(x)有最小值90,故选C本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和