高中数学竞赛题

数学竞赛练习题1、某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R(x)满足R(x)=)5(2.10)50(8.02.44.02xxxx.假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.（1）要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？解：依题意，G（x)=x+2,设利润函数为f(x),则)5(2.8)50(8.22.34.0)(2xxxxxxf（1）要使工厂有赢利，则有f(x)0.当0≤x≤5时，有–0.4x2+3.2x–2.80,得1x7,∴1x≤5.当x5时，有8.2–x0,得x8.2,∴5x8.2.综上，要使工厂赢利，应满足1x8.2.即产品应控制在大于100台小于820台的范围内.（2）0≤x≤5时，f(x)=–0.4(x–4)2+3.6故当x=4时，f(x)有最大值3.6.而当x5时f(x)8.2–5=3.2所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x=4时，每台产品售价为4)4(R=2.4（万元/百台）=240（元/台）2、某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f(n),则f(n)=50n–［12n+2)1(nn×4］–72=–2n2+40n–72（1）获纯利润就是要求f(n)0,∴–2n2+40n–720，解得2n18.由n∈N知从第三年开始获利.（2）①年平均利润=nnf)(=40–2(n+n36)≤16.当且仅当n=6时取等号.故此方案先获利6×16+48=144（万美元），此时n=6,②f(n)=–2(n–10)2+128.当n=10时，f(n)|max=128.故第②种方案共获利128+16=144（万美元）.故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.3、已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据t（时）03691215182124y（米）1.51.00.51.01.4910.510.991.5经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.解：（1）由表中数据，知T=12，ω=62T.由t=0,y=1.5得A+b=1.5.由t=3,y=1.0,得b=1.0.所以，A=0.5,b=1.振幅A=21，∴y=16cos21t(2)由题意知，当y1时，才可对冲浪者开放.∴16cos21t1,t6cos0.∴2kπ–2262kt,即有12k–3t13k+3.由0≤t≤24,故可令k=0,1,2,得0≤t3或9t15或21t≤24.∴在规定时间内有6个小时可供冲浪者运动即上午9：00至下午15：00.4、某厂使用两种零件A、B装配两种产品P、Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件，月产Q产品最多有1200件；而且组装一件P产品要4个A、2个B，组装一件Q产品要6个A、8个B，该厂在某个月能用的A零件最多14000个；B零件最多12000个.已知P产品每件利润1000元，Q产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P、Q产品各多少件？最大利润多少万元.解：设分别生产P、Q产品x件、y件，则有60004700032120008214000641200025000yxyxyxyxyx则有依题意有设利润S=1000x+2000y=1000(x+2y)要使利润S最大，只需求x+2y的最大值.x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n)∴24312nmnm∴5152nm有x+2y=52(2x+3y)+51(x+4y)≤52×7000+51×6000.当且仅当60004700032yxyx解得10002000yx时取等号，此时最大利润Smax=1000(x+2y)=4000000=400(万元).另外此题可运用“线性规划模型”解决.5、有一种商品，A，B的两地均有售，且两地的价格相同，但是某地区居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地的3倍．已知A，B两地的距离是10公里，顾客购买这种商品，选择从A地买或从B地买的标准是：包括运费在内的总费用比较便宜．求A、B两地的售货区域的分界线的轨迹图形，并指出轨迹图形上，图形内，图形外的居民如何选择从A地或B地购买最合算？解这是一道解析几何应用题．可设AB所在直线为x轴，AB中点为原点，建立直角坐标系，则A(－5，0)，B(5，0)，设P(x，y)是区域分界上任意一点，从B往P运货的单位距离运费为a，因此，3a·|PA|=a|PB|9(x5)y=(x5)y(xy=(154)AB(2540)AB222222·，所以〔＋＋〕－＋，即＋＋，故，两地售货的区域分界线是以－，为圆心，以为半径的圆，圆周上的居民从，两地购买的总费用相同；圆周内的2541542)居民从A地购买合算；圆周外的居民从B地购买合算．6、某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？解：出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有A55种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有A25种方法；(3)2张2一起出，3张A一起出，有A45种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有C23A35种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有A35种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有C23A45种方法.因此，共有不同的出牌方法A55+A25+A45+A23A35+A35+C23A45=860种.7、用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图8-30），设容器的高为h米，盖子边长为a米。（1）求a关于h的函数解析式；（2）设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值。（求解本题时，不计容器的厚度）解（1）设h′为正四棱锥的斜高，由已知得,'41,2'2142222hahaha解得a=112h(h0)。（2）V=31ha2=)1(32hh(h0)，易得V=)1(31hh，因为h+h1≥2hh1=2，所以V≤61，等号当且仅当h=h1，即h=1时取得。故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为61立方米。