1993年中国数学奥林匹克试题

第八届中国数学奥林匹克(1993年)1.设n是奇数，试证明存在2n个整数a1,a2,...,an；b1,b2,...,bn，使得对于任意一个整数k，0kn，下列3n个数ai+ai，ai+bi，bi+bi+k其中i=1,2,...,n，=,0jn)被3n除时余数互不相同。2.给定自然数k及实数a0，在下列条件k1+k2+...+kn=k，ki为自然数其中1≦r≦k下，求ak1+ak2+...+akr的最大值。3.设圆K和K1同心，它们的半径分别为R和R1，R1R。四边形ABCD内接于圆K，四边形A1B1C1D1内接于圆K1，点A1、B1、C1、D1分别在射线CD、DA、AB、BC上，求证：SA1B1C1D1/SABCD≧R12/R2。4.给定集合S={z1,z2,...,z1993}，其中z1,z2,...,z1993是非零复数(可看作平面试的非零向量)。求证可以把S中的元素分成若干组，使得i.S中每个元素属于且仅属于其中一组；ii.每一组中任一复数与该组所有复数之和的夹角不超过90。；iii.将任意两组中复数分别求和，求得和数之间的夹角大于90。。5.10人到书店买书，已知i.每人都买了三种书；ii.任何两人所买的书，都至少有一种相同。问购买人数最多的一种书最(至)少有几人购买？说明理由。6.设函数f：(0,+∞)→(0,+∞)满足以下条件：对于任意正实数x、y，有f(xy)≦f(x)f(y)。试证：对任意的正实数x及自然数n，有f(xn)≦f(x)f(x2)1/2...f(x)1/n。