2007北航校物理竞赛

1一、填空题（每题4分,共计40分）1.静水中停泊着两只质量皆为M的小船．第一只船在左边，其上站一质量为m的人，该人以水平向右速度vv从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以同样的速率水平向左地跳回到第一只船上．此后(1)第一只船运动的速度为vv1＝__________________________．(2)第二只船运动的速度为vv2＝__________________________．（水的阻力不计，所有速度都相对地面而言）2.有一火车，在水平地面上以不变的加速度av沿直线向前运动，当车速为v0时，从火车天花板上掉下一质量为m的螺帽．此后经过时间t，相对火车静止的人看螺帽的动能为________________________．相对地面静止的人看螺帽的动能为_______________________．3.转动着的飞轮的转动惯量为J，在t＝0时角速度为ω0．此后飞轮经历制动过程．阻力矩M的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为k(k为大于0的常量)．当031ωω=时，飞轮的角加速度β＝___________．从开始制动到031ωω=所经过的时间t＝_____________．4.如图所示，定滑轮半径为r，绕垂直纸面轴的转动惯量为J，弹簧倔强系数为k，开始时处于自然长度．物体的质量为M，开始时静止，固定斜面的倾角为θ(斜面及滑轮轴处的摩擦可忽略，而绳在滑轮上不打滑)．物体被释放后沿斜面下滑的过程中，物体、滑轮、绳子、弹簧和地球组成的系统的机械能________；物体下滑距离为x时的速度值为v＝______________．5.如图所示，从半径为R，长度为H的匀质圆柱体中挖出个同轴的半径为21R，长度为21H的圆柱形洞．此刚体的质心的坐标为xc＝__________,yc＝____________．6.一个平行板电容器的电容值C=100pf，面积S=100cm2，两板间充以相对介电常量为MkOθyxOH/2H2εr=6的云母片．当把它接到50V的电源上时，云母中电场强度的大小E=______________，金属板上的自由电荷ｑ＝________________．(真空介电常量ε0=8.85×10-12C2·N-1·m-2)7.三个完全相同的金属球A、B、C，其中A球带有电荷Q，而B、C球均不带电．先使A球同B球接触，分开后A球再和C球接触，最后三个球分别孤立地放置，则A、B两球所储存的电场能量WA，WB，与A球原先所储存的电场能量W0比较，WA是W0的__________倍，WB是W0的_____________倍．8.如图，电荷分别为q1、q2的两个正点电荷，某时刻分别以速度1vv、2vv(1vv的方向和2vv的方向垂直且v1，v2均远小于真空中光速)运动，则电荷为q2的点电荷该时刻所受磁力的大小为________________．方向为____________．9.一半圆形闭合线圈，半径R＝0.2m，通过电流I＝5A，放在均匀磁场中，磁场的方向与线圈平面平行，如图所示．磁感强度B＝0.5T，则线圈所受到磁力矩为_____________．若此线圈受磁力矩的作用从上述位置转到线圈平面与磁场方向成30°角的位置，则此过程中磁力矩作功为_______________________．10.如图．匀强磁场Bv，垂直于纸面向里，局限于半径为R的圆柱形空间区域，磁感强度Bv以dB/dt=常量的速率增加，D点在圆柱形空间内，到轴线距离为r1，C点在圆柱形空间外，到轴线距离为r2．将一电子（质量为m，电荷为-e）置于D点时电子的加速度大小=||Dav_________________________；置于C点时电子的加速度大小=||Cav__________________．并在图中标明Cav，Dav的方向．二、计算题（每题10分,共计60分）1vv2vv++aq1q2RIBv×××××××××××DOr1CBvr2R311.一辆洒水车沿水平公路笔直前进，车与地面之间的摩擦系数为μ，车载满水时质量为M0．设洒水车匀速将水喷出，洒出的水相对于车的速率为u，单位时间内喷出的水的质量为m0．当洒水车在水平牵引力Fv的作用下在水平公路上由静止开始行进时，同时开始向外洒水．设洒水车的牵引力Fv为恒力，由动量定理在下面两种情况下计算洒水车的速度随时间变化的关系式．(1)水向与车前进方向垂直的两侧喷出；(2)水向车的正后方喷出．12.宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的质量小的多，飞行器的速率为v0，小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的6倍。有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系，于是他便设计了如下方案：I.当飞行器在其圆周轨道的适当位置时，突然点燃飞行器上的喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周运动的切线方向离开圆轨道；II.飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；III.小行星与飞行器的碰撞是弹性碰撞。不计燃料的燃烧质量。(1)是通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系。(2)设在上述方案中，飞行器从发动机取得的能量为E1。如果不采取上述方案而是令飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系。采用这种办法时，飞行器从发动机取得的能量的最小值用E2表示。则E1/E2为多少？13.质量为m，半径为R的均匀球体，从一倾角为θ的斜面上滚下．设球体与斜面间的摩擦系数为μ，求使该球体在斜面上只滚不滑时,θ角的取值范围．14.如图所示，一电容器由内、外半径分别为a和b的两个同轴圆筒组成，其轴线处于竖直方向．外筒固定，内筒悬挂在天平的一端．天平平衡时，内筒只有长度为L的一部分置于外筒中．当接上电源使两筒之间的电势差为U时，为了使天平保持平衡，右边称盘中需加多大质量的砝码？15.载有稳恒电流I1的无限长直导线(看成刚体)下用一劲度系数为k的轻质弹簧挂一载有稳恒电流I2的矩形线圈。设长直导线通电前弹簧长度为L0．通电后矩形线圈将向下移动一段距离，求当磁场对线圈作的功满足A=μ0I1I2a/2π时，线圈、弹簧、地球组成的系统的势能变化(忽略感应电流对I2的影响).FvLI2I1ba416.用细铜丝构成的圆环在地磁中绕其竖直直径转动，铜环处的磁感应强度为44.5μT，其方向与水平方向向下成60°角，已知铜的密度为8.90×103kg⋅m-3，电阻率为1.70×10-8Ω⋅m，计算其角速度从初始值降到其一半所需的时间。设空气和轴承处的摩擦忽略不计，并忽略自感效应。参考答案一、填空题（每题4分，共计40分）1.vvMmm+−22分vv)/2(Mm2分2.222)(21tgam+2分])([21220gtm+v2分3.Jk920ω−2分02ωkJ2分4.守恒2分MrJkxMgx+−22/sin2θ2分5.－H/282分02分6.9.42×103V/m2分5×10-9C2分7.1/162分1/42分8.1222104vvaqqFπ=μ2分方向垂直2vv向左．2分9.0.157N·m2分7.85×10-2J2分10.tBmerdd21⋅2分tBmreRdd222⋅1分方向见图1分二、计算题（每题10分,共计60分）11.解：(1)分析洒水车受力情况，并建立x坐标，如图所示．设t时刻洒水车的质量为tmMtM00)(−=，洒水车的速度为v(t)，t+dt时刻洒水车的质量为mtMttMd)()d(−=+，其中tmmdd0=，洒水车的速度为vvvd)d(+=+tt．以地面为参考系，水由车侧面喷出时，水对地速度的x分量即为车速，由动量定理列出x方向×××××××××××DOr1CBvr2RCavDavFvxNvfvgMv5的方程vvvvMmmMtgtMF−++−=−d)d)(d(d])([μ3分vd)(d])([0000tmMtgtmMF−=−−μ∫∫−−=ttgtmMF0000d)(dμvv，gttmMMmFμ−−=0000lnv3分(2)以地面为参考系，水由正后方喷出时，水对地速度的x分量为v+−u．根据动量定理列出x方向的方程：=−−tgtmMFd])([00μvvvvMummM−+−++−)(d)d)(d(3分mutmMtgtmMFdd)(d])([0000−−=−−vμtumtmMdd)(000−−=v∫∫−−+=ttgtmMumF00000d)(dμvv，gttmMMmumFμ−−+=00000lnv3分12.解：(1)设太阳的质量为M0，飞行器的质量为m，飞行器绕太阳做圆周的轨道半径为R，根据所设计的方案，可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处出发，沿着半个椭圆轨道到达小行星轨道上的。该椭圆既与飞行器原来的圆轨道相切，又与小行星的圆轨道相切。要使飞行器沿此椭圆轨道运动，应点燃发动机使飞行器的速度在极短时间内，有v0变为u0。设飞行器沿椭圆轨道到达小行星轨道时的速度为u，因大小为u0和u的这两个速度的方向都与椭圆的长轴垂直，由角动量守恒定律可得muRRmu60=①有能量关系，有RmMGmuRmMGmu6212102020−=−②有万有引力定律，有RvmRmMG2020=既RGMv00=③有①②③三式得00712vu=④0211vu=⑤设小行星绕太阳运动的速度为v，小行星的质量为M，有万有引力定律RvMRMMG220)6(=的00616vRGMv==⑥可以看出uv⑦由此可见只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道，使得它到达小行星轨道处时，小行星的前缘也正好运动到该处，则飞行器就能被小行星撞击。可以把小行星看做静止，飞行器以相对速度v–u射向小行星，由于小行星的质量比飞行器的质量大的多，碰撞后，飞行器以同样的速率v–u弹回，即碰撞后飞行器相对小行星的速度大小为v–u，方向与小行星的速度方向相同，故飞行器相对太阳的速度为uvuvvu−=−+=216将⑤⑥式代入0121132vu⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⑧如果飞行器能从小行星的轨道上直接飞出太阳系，它应具有的最小速度为2u，则有0621022=−RmMGmu得002313vRGMu==⑨可以看出20001317123121132uvvvu=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⑩所以飞行器被小行星撞击后具有的速度足以保证它飞出太阳系。(2)为使飞行器能进入椭圆轨道，发动机应使飞行器的速度由v0增加到u0，飞行器从发动机取得的能量2020202020114521712212121mvmvvmmvmuE=−=−=若飞行器从其圆轨道上直接飞出太阳系，飞行器应具有最小速度为u3，则有021023=−RmMGmu由此得00322vRGMu==飞行器的速度由v0增加到u3，应从发动机获得的能量为2020232212121mvmvmuE=−=所以71.021145202021==mvmvEE13.解：球体对中心轴的转动惯量为Jc=(2/5)mR21分质心沿斜面平动，有：mgsinθ-f=mac1分N-mgcosθ=01分绕质心转动有：fR=Jcβ2分只滚不滑时有条件：ac=Rβ1分由以上四式可得：θθsin72sin2=+=mgmRJJfcc1分欲使物体只滚不滑，则必须是：f≤μN=μmgcosθ2分所以有(2/7)mgsinθ≤μmgcosθtgθ≤3.5μ，θ≤tg-1(3.5μ)1分14.解：未接电源时，电容为()abLC/ln20επ=2分mgθNCf7接电源后，由于两筒上的异号电荷间相互吸引力F的作用，天平将失去平衡，内筒将下移．设其位移为dL，则电容的增量为()LabCd/ln2d0επ=2分在电势差U不变下，电容器的能量增量为()LabUCUWd/lnd21d202επ==2分且()abULWF/lndd20επ==2分为使天平保持平衡，右边秤盘中需增加质量为m的砝码，使mg=F，因而得()abgUm/ln20επ=2分15.解：设弹簧原长为l0，长直导线通电后，弹簧长度