2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题本卷满分为150分，考试时间为120分钟题号一二三总分151617得分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。1．已知集合{,,()},,,MababaRbR，集合{1,0,1}P，映射:fxx表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则以,ab为坐标的点组成的集合S有元素（）个。A．2B．4C．6D．82．设D为△ABC的边AB的中点，P为△ABC内一点，且满足：25APADBC，则APDABCSS△△（）。A.35B.25C.15D.3103．在点O处测得远处质点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得0090,30AOBBOC，则tanOAB（）。A．32B．32C．233D．234．已知当6x时，函数sincosyxax取最大值，则函数sincosyaxx图象的一条对称轴为（）。A．3xB．3xC．6xD．6x5．已知是函数()log2008,(1)afxxxa的一个零点，是函数()2008xgxxa的一个零点，则的值为（）。A．1B．2008C．22008D．40166．函数()fx的定义域为D，若满足：①()fx在D内是单调函数，②存在[,],mnD使()fxEPDCBA在[,]mn上的值域为11[,]22mn，那么就称()yfx为“好函数”。现有()log(),xafxak(0,1)aa是“好函数”，则k的取值范围是（）。A．(0,)B．1(,)4C．1(0,)4D．1(0,]47．如图，一个棱长为a的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（）。A．(633)2aB．(633)aC．5382aD．(538)a8．若271000444n为完全平方数，则正整数n满足（）A．1972nB．1972nC．1973nD．1970n二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。9．已知向量cba,,满足bacbacba,)(,0，若1a，则bc.10．若数列na中任意连续三项和都为正数，任意连续四项和都为负数，则项数n的最大值为.11．如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,CC1=3.则这个多面体的体积为.12．把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为平方米。13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，得分评卷人O3O2O1HGFEDCBA左视图俯视图主视图BACBDBC1A1C1A1C1A15，7，9，12，14，16，17，…．则在这个子数列中，由1开始的第2008个数是.14．设(0,)2x，则函数2122cossinyxx的最小值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共54分。15．（本小题16分）已知函数2()2cos()3cos21,4fxxxxR.（1）求函数()fx单调递增区间；（2）若{|(),[,]}42Ayyfxx，不等式3xm的解集为B，ABA，求实数m的取值范围。16．(本小题满分18分)设2()32fxaxbxc,若0abc,0)0(f,0)1(f.（1）求证：方程()0fx在区间（0，1）内有两个不等的实数根；（2）若,,abc都为正整数，求abc的最小值。17．（本小题20分）在xoy平面上有一系列点),,(),,(222111yxPyxP…，),,(nnnyxP，对每个正整数n,以点nP为圆心的⊙nP与x轴及射线3,(0)yxx都相切，且⊙nP与⊙1nP彼此外切．若11x,且nnxx1（*Nn）．（1）求证：数列{}nx是等比数列，并求数列{}nx的通项公式；（2）设数列{}na的各项为正，且满足111,1nnnnnxaaaxa，求证：11223351,(2)431nnnaxaxaxaxn（3）对于（2）中的数列{}na,当1n时，求证：322322232222341(1)[](1)(1)(1)51nnnnnnnnnaaaaaaaaaa2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（解答）本卷满分为150分，考试时间为120分钟题号一二三总分151617得分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。题号12345678得分评卷人答案1．已知集合{,,()},,,MababaRbR，集合{1,0,1}P，映射:fxx表示把集合M中的元素x映射到集合P中仍为x，则以,ab为坐标的点组成的集合S有元素（C）个A．2B．4C．6D．8【分析】显然MP，∴111001,,,,,001111aaaaaabbbbbb有6组解，S有6个元素，选C。2．设D为△ABC的边AB的中点，P为△ABC内一点，且满足,25APADBC，则APDABCSS△△（C）EPDCBAA.35B.25C.15D.310【分析】如图25DPBEBC∴25ADBCADDPAP四边形DPEB为平行四边形，1sin1215sin2APDABCADDPABCSSABBCADP△△，选C。3．在点O处测得远处质点P作匀速直线运动，开始位置在A点，一分钟后到达B点，再过一分钟到达C点，测得0090,30AOBBOC，则tanOAB（B）A．32B．32C．233D．23【分析】如图延长OB到D，使得BD=OB，则四边形OADC为平行四边形∴090ODCAOB，又030BOC，则133222OBODDCOA，3tan2OBOABOA，选B。4．已知当6x时，函数sincosyxax取最大值，则函数sincosyaxx图象的一条对称轴为（A）A．3xB．3xC．6xD．6x【分析】∵当6x时，函数sincosyxax取最大值，∴213122aa解得：3a，∴sincos2sin()6yaxxx，∴3x是它的一条对称轴，选A。5．已知是函数()log2008,(1)afxxxa的一个零点，是函数()2008xgxxa的一个零点，则的值为（B）A．1B．2008C．22008D．4016【分析】如图：是曲线2008yx与曲线logayx交点A的横坐标，是曲线2008yx与曲线xya交点B的横坐标，∵函数logayx与xya互为反函数，∴A与B关于直线y=x对称即为点A的纵坐标，∴2008，选BPDCBAO6．函数()fx的定义域为D，若满足①()fx在D内是单调函数，②存在[,],mnD使()fx在[,]mn上的值域为11[,]22mn，那么就称()yfx为“好函数”。现有()log(),xafxak(0,1)aa是“好函数”，则k的取值范围是（C）A．(0,)B．1(,)4C．1(0,)4D．1(0,]4【分析】因为函数()log(),(0,1)xafxakaa在其定义域内为增函数，则若函数()yfx为“好函数”，方程1()2fxx必有两个不同实数根，∵1log()2xaakx2xxaka20xxaak，∴方程20ttk有两个不同的正数根，1(0,)4k选C。7．如图，一个棱长为a的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（D）A．(633)2aB．(633)aC．5382aD．(538)a【分析】大球的半径为2a，设小球的半径r，则3123232322(31)rraaraa设小球切截面CDE于F，则3433522araAFa设ACx，利用等积法求得95332xAFa，所以2(538)CHaAFa选D。8．若271000444n为完全平方数，则正整数n满足（）A．1972nB．1972nC．1973nD．1970n【分析】∵2710005419452544442(1222)nn，当25421945n，即1972n时，上式为完全平方数。当1972n时，有2721945254272(27)272(2)12221222(21)nnnnn，所以上式不可能为完全平方数。选B二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。得分评卷人O3O2O1HGFEDCBA9．已知向量cba,,满足bacbacba,)(,0，若1a，则bc1.【分析】∵(),abcab∴()0abcacbc且0ab2()10aabcaabacbc，∴1bc10．若数列na中任意连续三项和都为正数，任意连续四项和都为负数，则项数n的最大值为5.【分析】由123123440,00aaaaaaaa，同理由234234550,00aaaaaaaa所以这个数列最多只能有5项，否则由345345660,00aaaaaaaa，则得4560aaa与题设矛盾。11．如图是一个长方体ABCD-A1B1C1D1截去几个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6,CC1=3.则这个多面体的体积为48.【分析】从三视图看，顶点11,BD已被截去，所以这个多面体如上图，其体积为13462346486V。12．把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为254平方米【分析】设这两段的长度分别为x米、y米则x、y满足关系007||1xyxyxy，其平面区域为右上图所示阴影部分，两圆的面积之和为224xys，看成是个圆的方程，这个圆经过点(4,3)A或(3,4)B时，s最大，其最大值左视图俯视图主视图BACBDBC1A1C1A1C1A1DCBAC1A1为254平方米。13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个子数列中，由1开始的第2008个数是3953.【分析】前n次总共取了(1)1232nnn项，满足不等式(1)20082nn的最大整数为62n，前62次取了1953项，所以子数列中的第2008项必是奇数，而且是第63次取出的第55个奇数，前62次取数在正整数数列中有61621236118912个整数没有被取到，所以第63次取的第一个数为1953+1891+1=38