2009年全国初中数学竞赛上海市初赛试题(含答案)

2009年全国初中数学竞赛上海市选拔赛试题（满分：120分，时间：120分钟）考试时间：2008年12月20日上午：9：00～11：00题号1～56～1011121314总分得分一、选择题（每小题6分，共30分）1.若01a，21b，则1212abababab的值是（）A．0B．－1C．－3D．－42.若4322009mnxy是关于,xy的二元一次方程，且0mn，03mn≤，则mn的值是（）A．－4B．2C．4D．－23.如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分（即123SSS），且DE∥FG∥BC，BC=6，FG－DE=（）A．31B．63C．62D．224.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，9BOCS△，25AODS△，则四边形ABCD的面积最小值是（）第3题图S3S2S1GFEDCBA第4题图ODCBA第7题图PNMDCBAA．34B．64C．69D．无法求出5.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元.现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需（）元.A．2.4B．2.1C．1.9D．1.8二、填空题（每小题6分，共30分）6.设,xy为实数，代数式2254824xyxyx的最小值为.7.如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点P.则∠NPC的度数为.8.化简：731022173.9.如图，点A、C在反比例函数30yxx的图象上，B、D在x轴上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C的坐标是.10.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜边BC上距离B点6㎝的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是㎝2.三、解答题（每小题15分，共60分）11.已知一次函数yaxb的图象经过点3,32A，1,3B，2,Cc.求222abcabbcca的值.F第10题图HGPKEDCBA（第9图）DCBAOyx12.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=80°，E是腰CD上一点，连接BE、AC、AE，若∠ACB=60°，∠EBC=50°，求∠EAC的度数.13.如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE与BC交于点N.求证：BN=CN.DENMCBAOECBDA14.如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12），动点P、Q从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q出同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F.动点P、Q运动时间为t（单位：秒）.（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形，请写出推理过程；（2）当t=3秒时，求△PQF的面积；（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程.QCB(11,12)EDPA(13,0)FOxy参考答案与提示1.C．取0.5,2.5ab代入计算即可.2.A．提示：4311213mmnn0,031,3.mnmnmn≤3.D.提示：由相似三角形的性质得123DEFGBC∶∶∶∶，设,2,3DExFGxBCx，则362xx2,2DEFG22FGDE4.B．提示：设,AOBCODSxSy△△，则925ABCDSxy四边形；202.xyxyxy≥≥∴342Sxy最小≥；当且仅当xy时，342Sxy最小=；此时BC∥AD，92515xy.故3421564.S最小=5.B．设铅笔每支x元，练习本每本y元，圆珠笔每支z元，则376.32.132.1322.14108.42xyzxyxyzyyyxyzzy6.3．提示：原式=224133xyx≥.7.50°.过N作NG⊥PM于G，可证NG这MP的中垂线8.4．提示：原式=2227310221102211022144(7)(3).9.12,36.提示：作AE⊥OB于E，CF⊥BD于F，易求OE=EB=1，设BF=m，则(2,3)Cmm，代入3yx得2222210,2mmm0,12mm，∴12,36.10.14425.提示：过P作PM⊥AC于M，PN⊥DF于N，易证四边形PMGN为正方形，可求125PM，∴212144.525S正方形PMGN重叠=S11.可求得31,231,1abc∵3,232,23abbcca.原式=22211363.2abbcca12.连结BD交AC于F，连EF.可证△BCF，△ADF均为正三角形.可证CB=CE.E、F、B在以C为圆心，CE为半径的圆上，从而可证∠EFD=∠EDF=40°，∵EF=ED，于是易证△ADE≌△AFE，∴∠CAE=∠DAE=12∠DAC=30°.13.连结AC，BD.证△BCD∽△OCA.CBCDCOCA⇒证△CDN∽△CAM1.22CNCDCBCBCNCBCMCACOCM⇒⇒.BNCN14.（1）设2,,132,OPtOBtPAt要四边形PABO为平行四边形，则132tt∴133t.（2）当3t时，OP=6，CQ=11－3=9，BQ=3.12QBODODOPDFDF.12QEBDQDQBOBDEPAEFDODFAF∥∥∴AF=6，∴F（19，0）∴11278.2PQFSPF△（3）①QP=AP，作OG⊥x轴于G，则112213(11)tttt32t②PQ=FP，22(113)121322ttt1623t或③FQ=FP，2213211121322tttt1t综上，当3162123t或或或时，△PQF是等腰三角形.