2010年广州高二数学竞赛试题及答案

图12010年广州市高二数学竞赛试题2010.5.9考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线10(xayaR)与圆2240xyx的交点个数是()A.0B.1C.2D.无数个2.今年春，我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾，苍天无情人有情，某中学组织学生在社区开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且人均捐款数比前一天多5元．则截止第5天（包括第5天）捐款总数是().A．4800元B．8000元C．9600元D．11200元3.函数cos2sin(fxxxxR)的最大值和最小值分别为A.7,08B.7,28C.9,08D.9,284.若点,ab是圆2211xy内的动点,则函数2fxxaxb的一个零点在1,0内,另一个零点在0,1内的概率为A.14B.1C.12D.2二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5.已知大于1的实数,xy满足lg2lglgxyxy,则lglgxy的最小值为.6.将一边长为4的正方形纸片按照图1中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为.7.设a、b、c都是单位向量，且ab＝0，则abbc的最大值为.lBAMw.w.w.k.s.5.u.c.o.m8.对于两个正整数,mn，定义某种运算“”如下，当,mn都为正偶数或正奇数时，mnmn；当,mn中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mnmn，则在此定义下，集合,10,MpqpqpN*,qN*中元素的个数是.9.设nS是数列na的前n项和，若1113,2nnnaaa(nN*)，则2010S____________.10.在Rt△ABC中,1ABAC,如果椭圆经过,AB两点,它的一个焦点为C,另一个焦点在AB上,则这个椭圆的离心率为.三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．11．（本小题满分15分）在△ABC中,,,abc分别是内角,,ABC的对边,已知3272,cos,42CAABABC.(1)求cosB的值；（2）求b的值.12．（本小题满分15分）如图，已知二面角l的平面角为45,在半平面内有一个半圆O,其直径AB在l上,M是这个半圆O上任一点(除A、B外),直线AM、BM与另一个半平面所成的角分别为1、2.试证明2212coscos为定值.PxyD1C1ODCBA13.(本小题满分20分）如图,矩形ABCD中,10AB,6BC,现以矩形ABCD的AB边为x轴,AB的中点为原点建立直角坐标系,P是x轴上方一点,使得PC、PD与线段AB分别交于点1C、1D,且1111,,ADDCCB成等比数列.(1)求动点P的轨迹方程；(2)求动点P到直线:l60xy距离的最大值及取得最大值时点P的坐标．14．（本小题满分20分）设0a，函数|1ln|)(2xaxxf.(1)当1a时，求曲线)(xfy在点1,1f处的切线方程；(2)当),1[x时，求函数)(xf的最小值.15．（本小题满分20分）已知定义在R上的函数()fx满足：5(1)2f，且对于任意实数xy、，总有()()()()fxfyfxyfxy成立.（1）求(0)f的值，并证明()fx为偶函数；（2）若数列{}na满足2(1)()(1,2,3,)nafnfnn，求数列{}na的通项公式；（3）若对于任意非零实数y，总有()2fy.设有理数12,xx满足12||||xx，判断1()fx和2()fx的大小关系，并证明你的结论.2009年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：每小题6分，满分24分.1．C2．B3．D4．A二、填空题：每小题6分，满分36分.5.3lg26.8237.128.139.100519113210.63三、解答题：满分90分．11.（本小题满分15分）解:(1)∵32,cos0,4CAA∴2coscos22cos1CAA23121048.∵0,0AC,∴0,022AC.∴27sin1cos4AA,237sin1cos8CC.∴coscosBACcosACcoscossinsinACAC916.(2)∵272BABC,∴27cos2acB.∴24ac.∵sinsinsin22sincosacccACAAA,∴22cos3cacA.KHlBAM由2,324.acac解得4,6.ac∴2222cosbacacB229462242516.∴5b.12.（本小题满分15分）证明：过M作MH，H为垂足，在内，作MKAB，K为垂足，连接,,KHAHBH，则12,MAHMBH.∵,MHAB,∴MHAB.∵,MKMHMMK平面MHK，MH平面MHK，∴AB平面MHK.∵HK平面MHK，∴ABHK.∴MKH是二面角l的平面角.∴MKH45.∴22MHMK.在RtAMB中，222,,AMAKABBMBKABMKAKBK.在RtMHA和RtMHB中，12sin,sinMHMHAMMB.∴2212sinsin2222MHMHAMMB2222MKMKAKABBKAB22AKBKAKBKAKABBKAB2BKAKAB122ABAB.∴2212coscos2(22123sinsin)2FEPxyD1C1ODCBA18161412108642-2-4-6-8-10-12-14-16-30-25-20-15-10-551015202530lOyx13.（本小题满分20分）解：（1）设点P的坐标为,xy0y，过P作//PECD交DA的延长线于E，交CB的延长线于F.在DPE中,1DADAPEDE,得1656DAxy，得1656xDAy.在PCD中,111CDPDEACDPDED6yy,得11106yCDy.同理可得1656xCBy.∵1111,,ADDCCB成等比数列，∴21111DCADCB.∴2656510666xxyyyy.化简得2210259xyy.∴动点P的轨迹方程为2210259xyy.(2)由图易知当与直线l平行的直线与半椭圆相切于点P时，点P到直线l距离的最大.设与直线:l60xy平行的直线方程为0xyk，代入221259xy，得223450252250xkxk，①由222500340090kk，解得234k，由0k，得34k.故点P到直线l距离的最大值为3466321722k.把34k代入①式，可解得点P的坐标为2534934,3434.14.（本小题满分20分）解:（1）当1a时，|1ln|)(2xxxf，当xe时，21()ln1,()2fxxxfxxx令1x，得,1)1(,2)1(ff所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线)(xfy在1x处的切线方程为：01yx.（2）①当ex时，axaxxfln)(2，xaxxf2)()(ex.0a，0)(xf恒成立.)(xf在),[e上为增函数.故当ex时，2min)(eefy.②当ex1时，2()lnfxxaxa，)2)(2(22)(axaxxxaxxf（ex1）(ⅰ)当,12a即20a时，若),1(ex时，()0fx，所以)(xf在区间),1[e上为增函数.故当1x时，ay1min，且此时)()1(eff.(ⅱ)当ea21，即222ea时，若)2,1(ax时，()0fx;若(,)2axe时,()0fx,所以)(xf在区间)2,1[a上为减函数，在],2(ea上为增函数，故当2ax时，2ln223minaaay，且此时)()2(efaf.(ⅲ)当ea2；即22ea时，若),1(ex时，()0fx,所以)(xf在区间[1,e]上为减函数，故当ex时，2min)(eefy.综上所述，当22ea时，)(xf在),[e和[1,)e上的最小值都是2e,所以)(xf在1,上的最小值为2)(eef；当222ea时，)(xf在[1,)e时的最小值为2ln223)2(aaaaf，而)()2(efaf，所以)(xf在1,上的最小值为2ln223)2(aaaaf.当20a时，)(xf在),[e时最小值为2e，在[1,)e时的最小值为af1)1(，而)()1(eff,所以)(xf在1,上的最小值为af1)1(.所以函数)(xfy的最小值为2min221,02,3ln,22,222,2.aaaaayaeeae15.（本小题满分20分）解:（1）令1,0xy，1011ffff，又5(1)2f，02f.令0x，得(0)()()()ffyfyfy，即2()()()fyfyfy()()fyfy对任意的实数y总成立，fx为偶函数.（2）令1xy，得1120ffff，25(2)24f，17(2)4f.11752(2)(1)622aff.令1,1xny，得(1)(1)(2)()fnffnfn，5(2)(1)()2fnfnfn.152212114122nafnfnfnfnfnfnfn2[2(1)()]2(1).nfnfnan…{}na是以6为首项，以2为公比的等比数列.∴162nna.（3）结论：12()()fxfx.证明：∵0y时，()2fy,∴()()()()2()fxyfxyfxfyfx，即()()()()fxyfxfxfxy.∴令xky（k+N），故k+N，总有[(1)]()()[(1)]fkyfkyfkyfky成立.则[(1)]()()[(1)][(1)][(2)]()(0)0fkyfkyfkyfkyfkyfkyfyf.∴对于k+N，总有[(1)]()fkyfky成立.∴对于,mn+N，若nm，则有()1()fnyfnyfmy成立.∵12,xxQ，所以可设121212||,||qqxxpp，其中12,qq是非负整数，12,pp