2012年新高一数学竞赛10

平面几何竞赛基础10──圆内接四边形与四点共圆姓名_____________爱因斯坦曾说：如果平面几何不能激起一个人的好奇心，那么这个人在科学上的发展也不会很远诶．自学处理方法：先阅读完成例题解答，再独立完成练习并将解答回发[e-mail]邮箱，以便批阅反馈．注意要求目的：要求独立完成，可以参阅资料．目的是开学后考试选拔100名思维好且钻研能力强的竞赛选手．一、基本知识性质定理：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的外角等于内对角．判定定理：平面上的四个点如果具备下列条件之一，则四点共圆：（1）对角互补（或一个外角等于内对角）的四边形，四个顶点共圆；（2）具有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆；（3）有公共底边且顶点在公共边的同侧的两个三角形的顶角相等，则它们的四个顶点共圆．二、重要例题例1．两个角的边交于点A、B、C、D，已知这两个角的平分线互相垂直，求证：点A、B、C、D四点共圆．（提示：用外角等于内对角）MNPEFABCD例2．如图，如果在凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE且∠AEC=∠ADB，求证：∠BAC=∠DAE．（提示：连AF，先证ABCF、、、四点共圆）ABCDEF例3．如图，两圆O1，O2相交于A，B，圆O1的弦BC交圆O2于E，圆O2的弦BD交圆O1于F；求证：（1）若∠DBA=∠CBA，则DF=CE；（2）若DF=CE，则∠DBA=∠CBA．（提示：按图中辅助线，用好所标的角）例4．梯形ABCD中(BC∥AD)对角线交点为O，在线段AO和DO上取点M和N，使得：∠BMD=∠ANC；求证：B、M、N、C四点共圆．（提示：过BCM、、画圆）NMOABCD例5．在以C为圆心，以MN为直径的半圆上有A、B两个不同的点，点P在CN上，而且∠CAP=∠CBP=10，如果40MA，求BN的度数．（提示：连结AB）PMNBCA例6．四边形ABCD内接于圆，通过M和N分别表示直线AB和CD，BC和AD的交点；设B1是已知圆同过点B、M、N三点的圆异于B的交点；求证：直线B1D平分线段MN．（提示：先平行四边形NDMK，KD与过ABC、、三点的圆交于1B，连结1BB）三、巩固练习10（以下两道题的解答要回发到邮箱[e-mail]）1．P是△ABC的外接圆上一点，由P向各边BC、CA、AB引垂线PD、PE、PF，求证：三个垂足D、E、F共线．PEFABCD2．设在△ABC三边BC、CA、AB所在直线上各任取一点X、Y、Z，求证：三个圆AYZ、BZX、CXY共点．OXYZABC