2013高一级数学竞赛试题

yxO2012—2013学年度高一级数学竞赛（决赛）试题一、选择题（本大题共6题，每小题5分，共30分，符合条件的选项有且只有一个）1.如图中，给出的函数y=x2+ax+a的图像与x轴只有一个公共点，则a为()（A）0．（B）1．（C）2．（D）4．2.下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)上单调递增的函数是（）A2yxxB2sinyxxC3yxxDtanyx3.已知集合|12,|21PxxMxaxa，若PMP，则实数a的取值范围是（）A(,1]B[1,)C[1,1]D[1,)4.在ABC中，(1,2),(34),(2,)ABCk，，若B为锐角，则实数k的取值范围是()A．5kB．5kC．35kD．335kk或5.函数的3log3xy图象是（）ABCD6.已知函数()fx满足(1)2f，1()(1)1()fxfxfx(*)xN，则)2012()2011()3()2()1(fffff的值为()A．3B．2C．1D．6FEGABCD二、填空题（本大题共6题，每小题8分，共48分）7.已知22tanx，则xsin8.已知点)0,1(A,点B为抛物线12xy的顶点，C点为抛物线上任意一点，则ACAB的最小值为9.若任意Ax的，则Ax1，就称A是“和谐”集合，则在集合}5,4,3,2,1,21,31{M的所有非空子集中，“和谐”集合的个数是_________个10.已知ABC的三边长分别为3、4、5.则这个三角形内切圆的面积为11.已知函数()sin()(0,0)fxAxA的图象与直线(0)yaaA的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，且最大值是2，则()fx的解析式是12.已知2222212fxxabxaabb是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是三、解答题（本大题共6题，共72分）13.（本题满分10分）已知函数()2sin(2)4fxx，Rx．（1）求函数)(xf在],0[内的单调递减区间；（2）若函数)(xf在0xx处取到最大值，求)3()2()(000xfxfxf的值．14.（本题满分10分）如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB、AC于点D、E，设ADmAB，AEnAC，其中01m，01n．求表达式nm11的值.15.（本题满分13分）已知函数2()sin23sincossinsin44fxxxxxx．（1）求()fx的最小正周期和()fx的值域；（2）若0xx002x为()fx的一个零点，求0(2)fx的值．16.（本题满分13分）已知二次函数2()yfxxbxc的图象过点（1，13），且函数y1()2fx是偶函数.（1）求()fx的解析式；（2）函数()yfx的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.17.（本题满分13分）已知定义域为[0,1]的函数()fx同时满足以下三个条件：[1]对任意的[0,1]x，总有()0fx；[2](1)1f；[3]当10x，20x，且121xx时，有1212()()()fxxfxfx成立，就称()fx为“友谊函数”，请解答下列各题：(1)若()fx为“友谊函数”，求(0)f的值；(2)函数()21xgx在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？并给出理由.(3)已知()fx为“友谊函数”，假定存在0[0,1]x，使得0()[0,1]fx且00[()]ffxx，求证：00()fxx.18.（本题满分13分）已知正实数ba,满足122ba，且333)1(1bamba，求m的最小值．FEGABCD三水中学2012—2013学年度高一级数学竞赛（决赛）试题答案一、(每题5分，共30分)DCBDAC二、填空题（本大题共6题，每小题8分，共48分）7.4/5，8.7/4，9.7个10.11.x3cos212.2三、解答题13.解：（1）函数)(xf在],0[内的单调递减区间为：[87,83]；……5分（注：开区间也给分）（2）由已知得：当1)42sin(x时，函数)(xf取到最大值2；此时有2242kx，解得Zkkx,830；……………6分故2)(0xf，……………………………………………..7分;245sin2)454sin(2)44sin(2)2(00kxxf……….8分;0)26sin(2)46sin(2)3(00kxxf………………………9分故有)3()2()(000xfxfxf=;22……………..10分14.解：如图延长AG交BC与F，G为△ABC的中心F为BC的中点，则有ACABAF2121……..2分ABmAD，ACnAE，AFAG32…………………………………..4分AEnADmAG212123即AEnADmAG3131………………….6分D、G、E三点共线13131nm故nm11＝3……………………………….10分15.解：⑴2()sin23sincossinsin44fxxxxxx1cos222223sin2sincossincos22222xxxxxx……..4分13sin2cos22xx12sin262x．…………………5分所以()fx的最小正周期T……………..6分由1sin216x，得()fx的值域为35,22．…………...7分⑵1()2sin262fxx，由题设知0()0fx01sin264x，由005022666xx，结合0sin206x知02066x，…………………….8分可得015cos264x．……………………….9分00sin2sin266xx00sin2coscos2sin6666xx1315142421538，00cos2cos266xx00cos2cossin2sin6666xx153114242351800000sin4sin2cos2cos2sin2666xxxxx153158435118473516…….12分001(2)2sin462fxx7351216211358…………13分（注:有其他解法只要运算正确也给分）16.解（1）因为函数1()2yfx是偶函数，所以二次函数2()fxxbxc的对称轴方程为12x，故1b.……………..2分又因为二次函数2()fxxbxc的图象过点（1，13），所以113bc，故11c………………………………4分因此，()fx的解析式为2()11fxxx.………………5分（2）如果函数()yfx的图象上存在符合要求的点，设为P2(,)mn，其中m为正整数，n为自然数，则2211mmn，………………7分从而224(21)43nm，即[2(21)][2(21)]43nmnm……….10分注意到43是质数，且2(21)2(21)nmnm，2(21)0nm，所以有2(21)43,2(21)1,nmnm解得10,11.mn…………………12分因此函数()yfx的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）…13分17.解：（1）取120xx得(0)(0)(0)(0)0ffff，又由(0)0f，得(0)0f……………………………2分（2）显然()21xgx在[0,1]上满足[1]()0gx；[2](1)1g………3分若10x，20x，且121xx，则有1212()[()()]gxxgxgx12122121[(21)(21)](21)(21)0xxxxxx故()21xgx满足条件[1]、[2]、[3]，所以()21xgx为友谊函数……6分(3)由[3]知任给21,[0,1]xx其中21xx，且有211xx，不妨设21(0)xxxx则必有：01)x所以：211111()()()()()()()()0fxfxfxxfxfxfxfxfx……9分所以：21()()fxfx.依题意必有00()fxx,下面用反证法证明：假设00()fxx，则有00()xfx或00()xfx……10分(1)若00()xfx，则000()[()]fxffxx，这与00()xfx矛盾；……11分(2)若00()xfx，则000()[()]fxffxx，这与00()xfx矛盾；…12分故由上述（1）、（2）证明知假设不成立，则必有00()fxx，证毕.…13分18.已知正实数ba,满足122ba，且333)1(1bamba，求m的最小值．解令cos,sinab，02，则………………..1分322333)1sin(cos1)sinsincos)(cossin(cos)1sin(cos1sincosm．……3分令sincosx，…………………………..4分则]2,1()4sin(2x，…………………5分且21sincos2x．………………………….6分于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332xxxxxxxxxxxxm…….10分因为函数21)1(23)(xxf在]2,1(上单调递减，……………11分所以)1()2(fmf．………………………………………..12分因此，m的最小值为2423)2(f．……………………….13分