2013年高中数学竞赛初试及加试试题(含答案)

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.设集合{2,0,1,3}A，集合2{,2}BxxAxA.则集合B中所有元素的和为__________.2.在平面直角坐标系xOy中，点,AB在抛物线24yx上，满足4OAOB.F是抛物线的焦点，则OFAOFBSS______________.3.在ABC中，已知sin10sinsin,cos10coscosABCABC，则tanA的值为_______.4.已知正三棱锥PABC的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为__________.5.设,ab为实数，函数()fxaxb满足：对任意[0,1]x，有()1fx.则ab的最大值为_________.6.从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为_________.7.若实数,xy满足42xyxy，则x的取值范围是____________________.8.已知数列{}na共有9项，其中191aa，且对每个{1,2,,8}i，均有11{2,1,}2iiaa，则这样的数列的个数为_________.二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）给定正数数列{}nx满足12,2,3,nnSSn.这里1nnSxx.证明：存在常数0C，使得2,1,2,nnxCn10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为22221(0)xyabab，12,AA分别为椭圆的左、右顶点，12,FF分别为椭圆的左、右焦点.P为椭圆上不同于12,AA的任意一点.若平面中两个点,QR满足112211,,QAPAQAPARFPF，22,RFPF试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明.11.（本题满分20分）设函数2()fxaxb，求所有的正实数对(,)ab，使得对任意实数,xy，有()()()()fxyfxyfxfy2013年全国高中数学联合竞赛加试试题一、（本题满分40分）如图，AB是圆的一条弦，P为弧AB内一点，,EF为线段AB上两点，满足AEEFFB.连接,PEPF并延长，与圆分别相交于点,CD.求证：EFCDACBD.二、（本题满分40分）给定正整数,uv.数列{}na定义如下：1auv，对整数1m，221,.mmmmaauaav记12mmSaaa（1,2,m）.证明：数列{}nS中有无穷多项是完全平方数.三、（本题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中,2mn为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x分，未答对的学生得零分.每个学生的总分为其m道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为12nppp，求1npp的最大可能值.四、（本题满分50分）设,nk为大于1的整数，2kn.证明：存在2k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除.