2013年全国高中联赛福建省预赛试题参考答案

2013年福建省高中数学竞赛暨2013年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2013年9月7日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1．已知数列na满足132a，12nnaan（*nN），则nan的最小值为。【答案】313【解答】由132a，12nnaan知，12(1)nnaan，122(2)nnaan，……，2121aa，132a。上述n个等式左右两边分别相加，得(1)32nann。∴321nannn，又5n时，525nan；6n时，313nan。∴6n时，nan取最小值313。2．对于函数()yfx，xD，若对任意的1xD，存在唯一的2xD，使得12()()fxfxM，则称函数()fx在D上的几何平均数为M。已知32()1fxxx，12x，，则函数32()1fxxx在12，上的几何平均数M。【答案】5【解答】∵当12x时，2()32(32)0fxxxxx，∴32()1fxxx在区间12，上为增函数，其值域为15，。∴根据函数()fx几何平均数的定义知，5M。3．若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足112abc，则称a、b、c是调和的；若满足2acb，则称a、b、c是等差的。已知集合2013MxxxZ，，集合P是集合M的三元子集，即PabcM，，。若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”。则不同的“好集”的个数为。【答案】1006【解答】若a、b、c既是调和的，又是等差的，则1122abcacb，2ab，4cb。即“好集”为形如24bbb，，（0b）的集合。由“好集”是集合M的三元子集知，201342013b，bZ，且0b。∴503503b，bZ，且0b。符合条件的b可取1006个值。∴“好集”的个数为1006。4．已知实数x，y满足14xyxy，且1x，则(1)(2)xy的最小值为。【答案】27【解答】由14xyxy知，411xyx。∴413(1)(21)(1)(2)(1)(2)11xxxxyxxx。设1xt，则0t，3(1)(21)3(2)(21)1(1)(2)6()15271xxttxytxtt。当且仅当1tt，即1t，2x，7y时等号成立。∴(1)(2)xy的最小值为27。5．如图，在四面体ABCD中，ABBCD平面，BCD△是边长为3的等边三角形。若2AB，则四面体ABCD外接球的面积为。【答案】16【解答】如图，设正BCD△的中心为1O，四面体ABCD外接球的球心为O。则1OOBCD平面，1OOAB∥，1233332BO。取AB中点E。由OAOB知，OEAB，1OEOB∥，11OOEB。于是，2OAOB。∴四面体ABCD外接球半径为2，其面积为16。6．在正十边形的10个顶点中，任取4个点，则以这4个点为顶点的四边形为梯形的概率为。【答案】27【解答】设正十边形为1210AAA。则以12AA为底边的梯形有12310AAAA、1249AAAA、1258AAAA共3个。同理分别以23AA、34AA、45AA、…、910AA、101AA为底边的梯形各有3个。这样，合计有30个梯形。以13AA为底边的梯形有13410AAAA、1359AAAA共2个。同理分别以24AA、35AA、46AA、…、91AA、102AA为底边的梯形各有2个。这样，合计有20个梯形。以14AA为底边的梯形只有14510AAAA1个。同理分别以25AA、36AA、47AA、…、92AA、103AA为底边的梯形各有1个。这样，合计有10个梯形。所以，所求的概率41030201027PC。7．方程1sin222xxx在区间02，内的所有实根之和为。（符号x表示不超过x的最大整数）。【答案】12【解答】设222xxx，则对任意实数x，012x。原方程化为1sin22xx。①若1022x，则1sin022xx，xk（kZ）。∴xk（kZ）。结合02x，知，0x，1，2，3，4，5，6。经检验，0x，2，4，6符合要求。②若1122x，则1sin122xx，122xk（kZ）。∴122xk（kZ）。结合02x，知，12x，52，92。经检验，12x，52，92均不符合要求。∴符合条件的x为0，2，4，6，它们的和为12。8．已知()fx为R上增函数，且对任意xR，都有()34xffx，则(2)f。【答案】10【解答】依题意，()3xfx为常数。设()3xfxm，则()4fm，()3xfxm。∴34mm，340mm。易知方程340mm有唯一解1m。∴()31xfx，2(2)3110f。9．已知集合A的元素都是整数，其中最小的为1，最大的为200。且除1以外，A中每一个数都等于A中某两个数（可以相同）的和。则A的最小值为。（符号A表示集合A中元素的个数）【答案】10【解答】易知集合123510204080160200A，，，，，，，，，符合要求。此时，10A。下面说明9A不符合要求。假设集合12345671200Axxxxxxx，，，，，，，，，1234567xxxxxxx符合要求。则1112x，2224x，38x，416x，532x，664x，7128x。由于6764128192200xx，因此，77200xx，7100x。同理，由56326496100xx，知，766100xxx，650x。由4516324850xx，知，65550xxx，525x。由348162425xx，知，54425xxx，4252x与4x为整数矛盾。∴9A不符合要求，9A。同理，8A也不符合要求。因此，A的最小值为10。10．已知函数*()1xxfxqqxpqNpqpqpp，若为无理数，若，其中，，且、互质，，则函数()fx在区间78()89，上的最大值为。【答案】1617【解答】若x为有理数，且78()89x，。设78()89axa，（a，*N），由7889aa知，988778aaaa，78a。当1时，a不存在；当2时，存在唯一的15a，此时1517x，16()17fx。当3时，设7am，其中11m，且*mN，此时71()8mfxm。∵1671917()(817)017817(8)17(8)mmmmmm，∴若x为有理数，则1517x时，()fx取最大值1617。又x为无理数，且78()89x，时，816()917fxx。综合以上可知，()fx在区间78()89，上的最大值为1617。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11．将各项均为正数的数列na排成如下所示的三角形数阵（第n行有n个数，同一行中，下标小的数排在左边）。nb表示数阵中，第n行、第1列的数。已知数列nb为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为d的等差数列（第3行的3个数构成公差为d的等差数列；第4行的4个数构成公差为d的等差数列，……），11a，1217a，1834a。（1）求数阵中第m行、第n列的数()Amn，（用m、n表示）。（2）求2013a的值；（3）2013是否在该数阵中？并说明理由。【解答】（1）设nb的公比为q。依题意，12a为数阵中第5行、第2列的数；18a为数阵中第6行、第3列的数。∴11b，1nnbq，41217aqd，518234aqd。……………5分∴2q，1d，12nnb。∴1()(1)21mmAmnbndn，。…………………10分（2）由123621953，12362632016，2013195360知，2013a为数阵中第63行，第60列的数。∴622013259a。…………………15分（3）假设2013为数阵中第m行、第n列的数。∵第m行中，最小的数为12m，最大的数为121mm，∴112201321mmm……………①。由于10m时，1921295122013mm，因此10m不符合①；由于11m时，1102210242013m，因此11m不符合①；∴上述不等式①无正整数解。1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a……………∴2013不在该数阵中。…………………20分12．已知A、B为抛物线C：24yx上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限。1l、2l分别过点A、B且与抛物线C相切，P为1l、2l的交点。（1）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（2）设C、D为直线1l、2l与直线4x的交点，求PCD△面积的最小值。【解答】（1）设211()4yAy，，222()4yBy，（120yy）。易知1l斜率存在，设为1k，则1l方程为2111()4yyykx。由21112()44yyykxyx得，221111440kyyyky……………①由直线1l与抛物线C相切，知21111164(4)0kyky△。于是，112ky，1l方程为11212yxyy。同理，2l方程为22212yxyy。联立1l、2l方程可得点P坐标为1212()42yyyyP，……………………5分∵12221212444AByykyyyy，AB方程为211124()4yyyxyy，AB过抛物线C的焦点(10)F，。∴211124(1)4yyyy，124yy。∴1214Pyyx，点P在定直线1x上。……………………10分或解：设11()Axy，，22()Bxy，，则1l方程为112()yyxx，2l方程为222()yyxx。……………………5分设00()Pxy，，则10012()yyxx，20022()yyxx。∴点11()Axy，，22()Bxy，坐标满足方程002()yyxx。∴直线AB方程为002()yyxx。由直线AB过点(10)F，，知002(1)x。∴01x。点P在定直线1x上。……………………10分（2）由（1）知，C、D的坐标分别为1181(4)2Cyy，、2281(4)2Dyy，。∴1212121212(16)()8181()()222yyyyCDyyyyyy。∴12121212(16)()14242PCDyyyyyySyy△。……………………15分设212yyt（0t），12yym，由2222121212()()440yyyyyymt知，2mt，当且仅当120yy时等号成立。∴222222222221(16)(16)2(16)(16)424216168PCDttmmttttStttt△。设22(16)()8tftt，则22222222(16)2(16)(316)(16)()88ttttt