2015年全国各地数学竞赛预赛卷-(5)

2015年全国高中数学联赛黑龙江省预赛一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,0,2}A,集合{|BxxA且2}xA,则集合B等于A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,0}2.设0(sincos)kxxdx,若88018(1)kxaaxax,则128aaa等于A.1B.0C.1D.23.函数cossin||(0)sinxyxxx的图象大致是A.B.C.D.4.已知函数5()sin1fxx,根据函数的性质,积分的性质和积分的几何意义,探求22()fxdx的值,结果是A.162B.0C.1D.5.设正项等比数列{}na的前n项和为nS,且10103010202(21)SSS,则数列{}na的公比为A.18B.14C.12D.16.某几何体的三视图如图所示,其侧视图是一个边长为1的等边三角形,俯视图是两个等边三角形拼成的菱形,则这个几何体的体积是A.1B.12C.14D.187.设变量,xy满足约束条件2208400,0xyxyxy,目标函数(0,0)zabxyab的最大值是8,则ab的最小值是A.3B.4C.5D.68.设0,0ab,则下列不等式中不恒成立．．．．的是A.211ababB.114ababC.||ababD.221abab9.甲,乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记作a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记作b,其中,{1,2,3,4,5,6}ab,若||1ab,就称甲,乙“心相近”,现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心相近”的概率为A.49B.29C.718D.51810.设1234,,,AAAA是平面直角坐标系中两两不同的四个点,若1312,AAAA1412(,)AAAAR且112,则称34,AA调和分割12AA,已知平面上的点,CD调和分割AB,则下列说法正确的是A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.,CD可能同时在线段AB上D.,CD不可能同时在线段AB的延长线上11.四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,边长为,,2aPDaPAPCa,在这个四棱锥中放入一个球,则球的最大半径为A.(21)aB.2aC.2(1)2aD.a12.设等差数列{}na满足:22222233363645sincoscoscossinsin1sin()aaaaaaaa,公差(1,0)d,若当且仅当9n时数列{}na的前n项和nS取得最大值,则首项1a的取值范围是A.74(,)63B.43(,)32C.74[,]63D.43[,]32二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在题后的横线上.13.若P是双曲线22115yx的右支上的一点,,MN分别是圆22(4)4xy和22(4)1xy上的点,则||||PMPN的最大值为14.在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线,ABAC于不同两点,MN,若,ABmAMACnAN,则mn的值为15.若,[,],44xyaR且331sin20,4sin202xxayya,则cos(2)xy的值为16.若函数()yfx对定义域内的每一个值1x,在其定义域内都存在唯一的实数2x,使12()()1fxfx成立,则称该函数为“依赖函数”,给出以下命题:①21yx是“依赖函数”;②函数2sin([,]22yxx是“依赖函数”;③函数2xy是“依赖函数”;④函数lnyx是“依赖函数”;⑤若函数(),()yfxygx都是“依赖函数”,且定义域相同,则函数()()yfxgx也是“依赖函数”.其中所有真命题的序号是(填上你认为正确的所有命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(本小题满分10分)已知函数2()log()xxfxab且2(1)1,(2)log12ff.(Ⅰ)求实数,ab的值;(Ⅱ)当[1,2]x时,求函数()fx的最大值.18(本小题满分12分)在一个盒子中,放有标号为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为,xy,记|2|||xyx.(Ⅰ)求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;(Ⅱ)求随机变量的概率分布列和数学期望()E.19(本小题满分12分)已知向量(3sin,cos),(cos,cos)(0)mxxnxx,函数()fxmn的最小正周期为2.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设ABC的三边,,abc满足:2bac且边b所对的角为x,若关于x的方程()fxk有两个不同的实数解,求实数k的取值范围.20(本小题满分12分)如图,PD垂直于梯形ABCD所在的平面,90,ADCBADF为PA中点,12,12PDABADCD,四边形PDCE为矩形,线段PC交DE于点N.(Ⅰ)求证://AC平面;DEF(Ⅱ)求二面角ABCP的大小;(Ⅲ)在线段EF上是否存在一点Q,使得PQ与平面BCP所成的角的大小为?6若存在,请求出PQ的长;若不存在,请说明理由.21(本小题满分12分)如图,椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于,AB两点,||AF的最大值为,||MBF的最小值是m,满足:23.4Mma(Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)设线段AB的中点为,GAB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于,DE两点,O是坐标原点,记GFD的面积为1,SOED的面积为2S,求1222122SSSS的取值范围.22(本小题满分12分)设函数().lnxfxaxx(Ⅰ)若函数()fx在(1,)上为单调递减函数,求实数a的最小值;(Ⅱ)若存在212,[,]xxee,使12()'()fxfxa成立，求实数a的取值范围。