2017年全国初中数学联合竞赛试题

2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab＝（）A.2．B.1．C.0．D.1．【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90abbc，3(2)(3)72abbc，解得218ab，318bc，所以32bcab1.2．已知△ABC的三边长分别是,,abc，有以下三个结论：（1）以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以222,,abc为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1abbcca为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设abc，则有bca.（1）因为bca，所以2bcbca，即22()bca（），即bca，故以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4abc为边长可以构成三角形，但以2224,9,16abc为边长的三角形不存在；（3）因为abc，所以||11,||11,||11ababbcbccaac，故三条边中||1ca大于或等于其余两边，而||1||111abbcabbc（）（）（）（）111||1acacca=，故以||1ab，||1bc，||1ca为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,abc满足abc且2()abcabc，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(,,)abc为好数组，则2()6abcabcc，所以6ab.显然，a只能为1或2.若a＝2，由6ab可得2b或3，2b时可得4c，3b时可得52c（不是整数）；若a＝1，则2(1)bcbc，于是可得(2)(2)6bc，可求得(,,)abc＝（1，3，8）或（1，4，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC，4AD，5AC，6AB，则DOOB＝（）A.109．B.87．C.65．D.43．【答】A.过B作//BEAD，交AC的延长线于点E，则180ABEBADACB，所以△ABC∽△AEB，所以ACBCABEB，所以631855ABBCEBAC.再由//BEAD，得4101895DOADOBBE.5．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAFCAE.已知15BC，6BF，3BD，则AE＝（）A.43．B.213．C.214．D.215．【答】B.如图，因为BAFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即90FAEBAC.又因为ADBC，故2ADDEDFDBDC.而639DFBFBD，15312DCBCBD，所以29312ADDE，所以6AD，4DE.从而222264213AEADDE.6．对于正整数n，设na是最接近n的整数，则1232001111aaaa（）A.1917．B.1927．C.1937．D.1947．【答】A.对于任意自然数k，2211()24kkk不是整数，所以，对于正整数n，12n一定不是整数.设m是最接近n的整数，则1||2mn，1m.易知：当1m时，1||2mn2211()()22mnm221144mmnmm.于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足221mmnmm时，m是最接近n的整数，即nam.所以，使得na＝m的正整数n的个数为2m.注意到2213131822001414210，因此，12200,,,aaa中，有：2个1，4个2，6个3，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）EOCBADACBFDE8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147aaaa.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．使得等式311aa成立的实数a的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(11)aa.令1xa，则0x，且21ax，于是有322(1)(1)xx，整理后因式分解得2(3)(1)0xxx，解得10x，23x，31x（舍去），所以1a或8a.验证可知：1a是原方程的增根，8a是原方程的根.所以，8a.2．如图，平行四边形ABCD中，72ABC，AFBC于点F，AF交BD于点E，若2DEAB，则AED＝_______．【答】66.取DE的中点M，在Rt△ADE中，有12AMEMDEAB.设AED，则1802AME，18ABM.又ABMAMB，所以180218，解得66.3．设,mn是正整数，且mn.若9m与9n的末两位数字相同，则mn的最小值为．【答】10.由题意知，999(91)mnnmn是100的倍数，所以91mn是100的倍数，所以9mn的末两位数字是01，显然，mn是偶数，设2mnt（t是正整数），则29981mntt.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t的最小值为5，从而可得mn的最小值为10.4．若实数,xy满足3331xyxy，则22xy的最小值为．【答】12.因为333322031()(1)333xyxyxyxyxyxy22(1)[()()(1)(1)]3(1)xyxyxyxyxy2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）MEFCBDA22(1)(1)xyxyxyxy2221(1)[()(1)(1)]2xyxyxy，所以1xy或1xy.若1xy，则22xy＝2.若1xy，则22222111[()()][1()]222xyxyxyxy，当且仅当12xy时等号成立.所以，22xy的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)yaxbxcc的图象与x轴有唯一交点，则二次函数3233yaxbxc的图象与x轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数2yaxbxc的图象与x轴有唯一交点，所以2140bac，所以240bac.故二次函数3233yaxbxc的判别式323363623211()4(4)()1616bacbacbb61516b0，所以，二次函数3233yaxbxc的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1题相同.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4．已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc＝（）A.424．B.430．C.441．D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得22(9)3(1)75ab，所以23(1)75b，又b为正整数，所以16b.若b＝1，则2(9)75a，无正整数解；若b＝2，则2(9)72a，无正整数解；若b＝3，则2(9)63a，无正整数解；若b＝4，则2(9)48a，无正整数解；若b＝5，则2(9)27a，无正整数解；若b＝6，则2(9)0a，解得9a，此时18c.2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）因此，9a，b＝6，18c，故222abc＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC，4AD，5AC，6AB，则DOOB＝（）A.43．B.65．C.87．D.109．【答】D.解答过程与（A）卷第4题相同.6．题目和解答与（A）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．题目和解答与（A）卷第1题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，,DE分别为线段,BCOA的中点，7ACBOED，5ABCOED，则OED＝_________.【答】10.如图，设OEDx，则5ABCx，7ACBx，DOC18012BACx，10AOCx，所以1802AODx，180(1802)ODExxx，所以1122ODOEOAOC，所以60DOC，从而可得10x.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,xy满足3xy，221112xyxy，求55xy的值.解由221112xyxy可得2233222()xyxyxyxyxy.设xyt，则222()292xyxyxyt，332()[()3]3(93)xyxyxyxyt，代入上式可得22(392)3(93)tttt，解得1t或3t.……………………10分当3t时，3xy，又3xy，故,xy是一元二次方程2330mm的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当1t时，1xy，又3xy，故,xy是一元二次方程2310mm的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123xyxyxyxyxyttt.……………………20分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共7页）DEOBAC二、（本题满分25分）如图，△ABC中，ABAC，45BAC，E是BAC的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB.已知1AF，5BF，求△ABC的面积.解在FB上取点D，使FD＝AF，连接ED并延长，交△ABC的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD知△AED是等腰三角形，所以∠AED＝1802∠EAD＝∠BAC，……………………10分所以AGBC，所以ACBG，所以AC＝BG.……………………15分又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD＝5－1＝4，……………………20分△ABC的AB边上的高sin4522hAC.所以，△ABC的面积116226222SABh.……………………25分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)ab，使得34938ba.解显然，4938b为奇数，所以a为奇数.又因为33493849385ba，所以5a.……………………5分由34938ba可得38493ba，即22(2)(24)73baaa.……………………10分设2(2,24)aaad，则d