2018届高考数学（上海专用）总复习专题10立体几何分项练习

第十章立体几何一．基础题组1.【2017高考上海，4】已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于.【答案】9【解析】设球的半径为R，则：34363R，解得：3R，该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为：29SR.2.【2017高考上海，7】如图，以长方体1111ABCDABCD的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB的坐标为4,3,2，则1AC的坐标是.【答案】4,3,2【解析】将向量1AC的起点平移至点D，则平移后的向量与向量1DB关于平面11CDDC对称，据此可得：14,3,2AC.3.【2016高考上海文数】如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）.(A)直线AA1(B)直线A1B1(C)直线A1D1(D)直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有11BC与EF在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与EF都是异面直线，故选D．【考点】异面直线【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等.4.【2015高考上海理数】若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a．【答案】4【解析】2331636444aaaa【考点定位】正三棱柱的体积【名师点睛】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握平几面积计算方法.柱的体积为VSh,区别锥的体积13VSh；熟记正三角形面积为234a，正六边形的面积为2364a.5.【2015高考上海理数】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为．【答案】3【解析】由题意得：1:(2)222rlhrlh母线与轴的夹角为3【考点定位】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如圆柱的侧面积rlS2，圆柱的表面积)(2lrrS，圆锥的侧面积rlS，圆锥的表面积)(lrrS，球体的表面积24RS，圆锥轴截面为等腰三角形.6.【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】1arccos3.【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.7.【2014上海,文8】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.【答案】24【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为2(51)324.【考点】三视图，几何体的体积..8.【2013上海,理13】在xOy平面上，将两个半圆弧(x－1)2＋y2＝1(x≥1)和(x－3)2＋y2＝1(x≥3)、两条直线y＝1和y＝－1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0，y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为241y＋8π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为______．【答案】2π2＋16π9.【2013上海,文10】已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为6，则lr＝______.【答案】3【解析】由题知，3tan63rl3lr.10.【2012上海,理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．【答案】3π3【解析】如图，由题意知21π2π2l，∴l=2.又展开图为半圆，∴πl=2πr，∴r=1，故圆锥的高为3，体积213ππ33Vrh11.【2012上海,理14】如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a，c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是__________．【答案】22213cac【解析】如图：当AB=BD=AC=CD=a时，该棱锥的体积最大．作AM⊥BC，连接DM，则BC⊥平面ADM，21AMa，21DMa.又AD=2c，∴221ADMScac.∴VD－ABC=VB－ADM+VC－ADM=22213cac.12.【2012上海,文5】一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__________．【答案】6π【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.13.【2011上海,理7】若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为______．【答案】3π3【解析】14.【2011上海,文7】若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是________．【答案】3π【解析】15.【2010上海,理12】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为________；【答案】823【解析】在折叠过程中OCOB，ODOA始终没有改变，所以最后形成的四面体()ABCDO中，OA底面CDO，故其体积21182(22)22323V，故答案为：823.【点评】本题属于典型的折叠问题，解题的关键是：抓住折叠前后哪些几何元素的位置关系发生了改变，哪些位置关系没有发生改变，本题中应用正方形的性质是解题的推手.16.【2010上海,文6】已知四棱椎P—ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱椎的体积是________．【答案】96【解析】底面正方形的面积S＝62＝36，又∵PA⊥底面ABCD，PA＝8，∴VP—ABCD＝13×S×PA＝13×36×8＝96.17.(2009上海,理5)如图,若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AD所成角的大小是____________.(结果用反三角函数值表示)【答案】5arctan18.(2009上海,理8)已知三个球的半径R1,R2,R3满足R1+2R2=3R3,则它们的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是_____________.【答案】32132SSS【解析】由题意S1=4πR12,S2=4πR22,S3=4πR32,则S1S2=16π2（R1R2)2,∴4162122121SSSSRR.又∵32213RRR,∴2213)32(4RRS=)44(94212221RRRR=)4164(912121SSSS=)44(912211SSSS=221)4(91SS=221)2(91SS.∴21323SSS.19.(本题满分14分)(2009上海,理19)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1-A1C-C1的大小.【答案】3【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),设AC的中点为M,∵BM⊥AC,BM⊥CC1,∴BM⊥平面A1C1C,即BM=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量.设平面A1B1C的一个法向量是n=(x,y,z).CA1=(-2,2,-2),11BA=(-2,0,0),∴n·11BA=-2x=0,n·CA1=-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n=(0,1,1),设法向量n与BM的夹角为φ，二面角B1-A1C-C1的大小为θ，显然θ为锐角.∵cosθ=|cosφ|=21||||||BMnBMn,解得3,∴二面角B1-A1C-C1的大小为3.20.(2009上海,文6)若球O1、O2表面积之比421SS,则它们的半径之比21RR=__________.【答案】2【解析】由4442221222121RRRRSS,得221RR.21.(2009上海,文8)若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是__________.【答案】38【解析】由题意可知,该几何体是底面半径r=2,高h=2的圆锥,则其体积38312hrV.22.(2009上海,文16)如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是（）【答案】B【解析】由于主视图是在几何体的正前方,用垂直于投影面的光线照射几何体而得到的投影,易知图形B符合题意.23.【2008上海,理16】(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数表示24.【2007上海,理10】平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面,与两直线12,ll，又知12,ll在内的射影为12,ss，在内的射影为12,tt.试写出12,ss与12,tt满足的条件，使之一定能成为12,ll是异面直线的充分条件25.【2007上海,文7】如图，在直三棱柱111CBAABC中，90ACB，21AA，1BCAC，则异面直线BA1与AC所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）.【答案】66arccos【解析】26.【2007上海,文16】（本题满分12分）在正四棱锥ABCDP中，2PA，直线PA与平面ABCD所成的角为60，求正四棱锥ABCDP的体积V.【答案】233【解析】作PO平面ABCD，垂足为O.连接AO，O是正方形ABCD的中心，PAO是直线PA与平面ABCD所成的角.PAO＝60，2PA.3PO，1AO，2AB，332233131ABCDSPOV.27.【2006上海,文16】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（A）48（B）18（C）24（D）36【答案】D28.【2005上海,理11】有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3aaaa。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________.【答案】1503a【解析】两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况四棱柱有一种，就是边长为a5的边重合在一起，表面积为242a+28三棱柱有两种，边长为a4的边重合在一起，表面积为242a+32边长为a3的边重合在一起，表面积为242a+36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为122a+48最小的是一个四棱柱，这说明201248122824222aaa3150a29.【2005上海,理17】（本题满分12分）已知直四棱柱1111ABCDABCD中，12AA，底面ABCD是直角梯形，A为直角，//ABCD，4AB，2AD，1DC，求异面直线1BC与DC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】.17173arccos【解析】由题意AB//CD，BAC1是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得5AC，又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，得13,3,2,90CBHBCHCHB又在1CBCRt中，可得171BC，在.17173arccos,171732cos,112121211