第22届全国中学生物理竞赛复赛

一、图中的AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内,由两个半径都是R的1/4圆周连接而成，它们的圆心1O、2O与两圆弧的连接点O在同一竖直线上．BO2沿水池的水面．一小滑块可由弧AO的任意点从静止开始下滑．1．若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处？（用该处到1O的连线与竖直线的夹角表示）．2．凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到2O的距离如何？二、如图所示，O为半径等于R的原来不带电的导体球的球心，O1、O2、O3为位于球内的三个半径皆为r的球形空腔的球心，它们与O共面，已知2321ROOOOOO．在OO1、OO2的连线上距O1、O2为2r的P1、P2点处分别放置带电量为q1和q2的线度很小的导体（视为点电荷），在O3处放置一带电量为q3的点电荷，设法使q1、q2和q3固定不动．在导体球外的P点放一个电量为Q的点电荷，P点与O1、O2、O3共面，位于OO3的延长线上，到O的距离ROP2．1．求q3的电势能．2．将带有电量q1、q2的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？此时q3的电势能为多少？三、(22分)如图所示，水平放置的横截面积为S的带有活塞的圆筒形绝热容器中盛有1mol的理想气体．其内能CTU，C为已知常量，T为热力学温度．器壁和活塞之间不漏气且存在摩擦，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且皆为F．图中r为电阻丝，通电时可对气体缓慢加热．起始时，气体压强与外界大气压强p0相等，气体的温度为T0．现开始对r通电，已知当活塞运动时克服摩擦力做功所产生热量的一半被容器中的气体吸收．若用Q表示气体从电阻丝吸收的热量，T表示气体O1O2OAB第22届全国中学生物理竞赛复赛题O1O2O3PP2P1ORRrp0r的温度，试以T为纵坐标，Q为横坐标，画出在Q不断增加的过程中T和Q的关系图线．并在图中用题给的已知量及普适气体常量R标出反映图线特征的各量（不要求写出推导过程）．四、（23分）封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O1，光源一直在发光，并通过圆孔射出．车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示．某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点．在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R（Rr）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直．板的圆心O2、S、、O1都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上．由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况．不考虑光的衍射．试求：1．车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻．2．地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻．五、（25分）一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为a1、a2，厚度可以忽略．两个表面都带有电荷，电荷面密度随离开环心距离r变化的规律均为20)(rr，0为已知常量．薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度减速转动，t=0时刻的角速度为0．将一半径为a0(a0a1)、电阻为R并与薄圆环共面的导线圆环与薄圆环同心放置．试求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力F与时间t的关系．提示：半径为r、通有电流I的圆线圈（环形电流），在圆心处产生的磁感应强度为rIkB（k为已知常量）六、（25分）两辆汽车A与B，在t=0时从十字路口O处分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图所示．汽车A持续地以固定的频率v0鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率．已知声速为u，且当然有uvA、vB．a1a2a0SvRxAOlrO2O1vBvABAO七、（25分）如图所示，在一个劲度系数为k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为m的小球A和质量为2m的小球B．A用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为l．现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox，原点O与此时A球的位置重合如图．试求任意时刻两球的坐标．ABkxOl第22届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、1．如图所示，设滑块出发点为1P，离开点为2P，按题意要求11PO、22PO与竖直方向的夹角相等，设其为，若离开滑道时的速度为v，则滑块在2P处脱离滑道的条件是cos2mgRmv(1)由机械能守恒221)cos1(2vmmgR(2)(1)、(2)联立解得54cos或253654arccos(3)2．设滑块刚能在O点离开滑道的条件是mgRm20v（4）v0为滑块到达O点的速度，由此得Rg0v（5）设到达O点的速度为v0的滑块在滑道OA上的出发点到1O的连线与竖直的夹角为0，由机械能守恒，有20021)cos1(vmmgR（6）由（5）、（6）两式解得3π0（7）若滑块到达O点时的速度0vv，则对OB滑道来说，因O点可能提供的最大向心力为mg，故滑块将沿半径比R大的圆周的水平切线方向离开O点．对于0vv的滑块，其在OA上出发点的位置对应的角必大于0，即0，由于2πmax，根据机械能守恒，到达O点的最大速度Rgmax2v（8）由此可知，能从O点离开滑道的滑块速度是v0到maxv之间所有可能的值，也就是说，从3π至2π下滑的滑块都将在O点离开滑道．以速度v0从O点沿水平方向滑出滑道的滑块，其落水点至2O的距离tx00v（9）O1O2OABP1P2221gtR（10）由（5）、（9）、（10）式得Rx20（11）当滑块以maxv从O点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到2O的距离txmaxmaxv（12）由（8）、（10）、（12）式得Rxmax2（13）因此，凡能从O点脱离滑道的滑块，其落水点到2O的距离在R2到R2之间的所有可能值．即RxR22（14）二、1．由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现电量为1q、2q和3q的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量321qqq．由静电屏蔽可知，点电荷q1及感应电荷（1q）在空腔外产生的电场为零；点电荷q2及感应电荷（2q）在空腔外产生的电场为零；点电荷q3及感应电荷（3q）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量321qqq作球对称分布．当球外P点处放置电荷Q后，由于静电感应，球面上的总电量仍为321qqq，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．O3处的电势由位于P点处的Q、导体球表面的电荷321qqq及空腔3表面的感应电荷（3q）共同产生．无论321qqq在球面上如何分布，球面上的面电荷到O点的距离都是R，因而在O点产生的电势为Rqqqk321，Q在O点产生的电势为RQk2，这两部分电荷在O3点产生的电势U与它们在O点产生的电势相等，即有RqqqQkRQRqqqkU22222321321（1）因q3放在空腔3的中心处，其感应电荷3q在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O3点产生的电势为rqkU3(2)根据电势叠加定理，O3点的电势为rqRqqqQkUUU33212222(3)故q3的电势能rqRqqqQkqUqW3321332222(4)2．由于静电屏蔽，空腔1外所有电荷在空腔1内产生的合电场为零，空腔1内的电荷q1仅受到腔内壁感应电荷1q的静电力作用，因q1不在空腔1的中心O1点，所以感应电荷1q在空腔表面分布不均匀，与q1相距较近的区域电荷面密度较大，对q1的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静电力作用下，q1最后到达空腔1表面，与感应电荷1q中和．同理，空腔2中q2也将在空腔表面感应电荷2q的静电力作用下到达空腔2的表面与感应电荷2q中和．达到平衡后，腔1、2表面上无电荷分布，腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化．O3的电势仍由球外的电荷Q和导体球外表面的电量321qqq及空腔3内壁的电荷3q共同产生，故O3处的电势U与q3的电势能W仍如(3)式与(4)式所示．三、答案如图所示．附计算过程：电阻通电后对气体缓慢加热，气体的温度升高，压强增大，活塞开始有向外运动的趋势，但在气体对活塞的作用力尚未达到外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和以前，活塞不动，即该过程为等容过程．因气体对外不做功，根据热力学第一定律可知，在气体温度从T0升高到T的过程中，气体从电阻丝吸收的热量，0TTCQ(1)abdQTT0SpCFTQ0010001TSpFSpTtan2=FRSRpCFSCpFSp0002222C1tan112此过程将持续到气体对活塞的作用力等于外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和．若用T1表示此过程达到末态的温度，p表示末态的压强，Q1表示此过程中气体从电阻丝吸收的热量，由等容过程方程有010TTpp(2)由力的平衡可知FSppS0(3)由（2）、（3）两式可得SpTFSpT0001(4)代入(1)式得SpCFTQ001(5)由以上讨论可知，当1QQ时，T与Q的关系为0TCQT(6)在QT~图中为一直线如图中ab所示，其斜率CKab1(7)直线在T轴上的截距等于T0，直线ab的终点b的坐标为（T1，Q1）．当电阻丝继续加热，活塞开始向外运动以后，因为过程是缓慢的，外界大气压及摩擦力皆不变，所以气体的压强不变，仍是p，气体经历的过程为等压过程．在气体的体积从初始体积V0增大到V，温度由T1升高到T的过程中，设气体从电阻丝吸收的热量为Q，活塞运动过程中与器壁摩擦生热的一半热量为q，由热力学第一定律可知01VVpTTCqQ(8)q可由摩擦力做功求得，即SVVFq021(9)代入（8）式得0102VVpTTCSVVFQ(10)由状态方程式可知10TTRVVp(11)将（11）式和（4）式代入（10）式，得102TTFSpFRRCQ即10002222TQFRSRpCFSCpFSpT（12）从开始对气体加热到气体温度升高到T(T1)的过程中，气体从电阻丝吸收的总热量QQQ1（13）把（13）式代入到（12）式，并注意到（4）式和（5），得SpCFTQQSpTFSpSpCFTQFRSRpCFSCpFSpT001000000002222（14）由此可知，当SpCFTQQ001时，T与Q的关系仍为一直线，此直线起点的坐标为SpCFTQQ001，1TT；斜率为FRSRpCFSCpFSp0002222（15）在QT~图中，就是直线bd，当热量Q从零开始逐渐增大，气体温度T将从起始温度T0沿着斜率为Kab的直线ab上升到温度为T1的b点，然后沿着斜率为Kbd的直线bd上升，如图所示．四、1．相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度v趋向光源S运动．由S发出的光经小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大．若距S的距离为L处光束的横截面正好是半径为R的圆面，如图所示，则有LRlr可得rRlL(1)设想车厢足够长，并设想在车厢前端距S为L处放置一个半径为R的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出．当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住．此时，在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L．在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源的距离为21cxAv(2)故出现挡板完全遮住光束的时刻为vvLcxtA21(3)由（1）、（3）式得vvv