上海市徐汇区2015届高三上学期学习能力诊断（一模）数学（理）试题

2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2015.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知3sin5，则cos2_____．[来源:Z+xx+k.Com]2．若实数,xy满足4xy，则224xy的最小值为．3．设i是虚数单位，复数z满足(2)5iz，则z．4．函数2()2(0)fxxx的反函数1()fx．5．若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213yx的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．6．若正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD与AD所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示）7．设数列na的前n项和为nS，若11a，*110()2nnSanN，则na的通项公式为．8．若全集UR，不等式11111xx的解集为A，则UAC=．9．已知圆22:(1)(1)2Cxy，方向向量(1,1)d的直线l过点(0,4)P，则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．10．如图：在梯形ABCD中，//ADBC且12ADBC，AC与BD相交于O，设ABa，DCb，用,ab表示BO，则BO=．11．已知函数()2sin(2)6fxx，将()yfx的图像向左平移（0）个单位后得到函数()ygx的图像．若()ygx的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则的值为．12．已知函数222111()1()()(1)2222015nnnfxxn，其中*nN．[来源:Z*xx*k.Com]当123n，，，时，()nfx的零点依次记作123xxx，，，，则limnnx．13．在平面直角坐标系中，对于函数yfx的图像上不重合的两点,AB，若,AB关于原点对称，则称点对,AB是函数yfx的一组“奇点对”（规定,AB与,BA是相同的“奇点对”）．函数1lg01sin02xxfxxx的“奇点对”的组数是．14．设集合12310,,,,|1,0,1,1,2,3,,10iAxxxxxi，则集合A中满足条件“1231019xxxx”的元素个数为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．“14a”是“实系数一元二次方程20xxa有虚数根”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件[来源:学科网ZXXK]（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件16．已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出m的是（）（A）且m（B）且//m（C）nm//且n（D）mn且//n17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n类*()nN，分别编号为1,2,,n，买家共有m名*(,)mNmn，分别编号为1,2,,m．若1,1,10,ijijaimjnij第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（）（A）1112121222mmaaaaaa（B）1121112222mmaaaaaa（C）1112212212mmaaaaaa（D）1121122212mmaaaaaa18．对于方程为||1x+||1y=1的曲线C给出以下三个命题：（1）曲线C关于原点中心对称；（2）曲线C既关于x轴对称,也关于y轴对称，且x轴和y轴是曲线C仅有的两条对称轴；（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q都在曲线C上，则四边形MNPQ每一条边的边长都大于2．其中正确的命题是（）(A)（1）（2）(B)（1）（3）(C)（2）（3）(D)（1）（2）（3）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．已知函数RxxAxf),4sin()(，且23)125(f．（1）求A的值；（2）若23)()(ff，)2,0(，求)43(f．20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()22()xxfxkkR．（1）若函数()fx为奇函数，求k的值；（2）若函数()fx在,2上为减函数，求k的取值范围．21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，某传动装置由两个陀螺12,TT组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的13，且12,TT的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T的轴所成角2arctan3．若陀螺2T中圆锥的底面半径为0rr．（1）求陀螺2T的体积；（2）当陀螺2T转动一圈时，陀螺1T中圆锥底面圆周上一点P转动到点1P，求P与1P之间的距离．[来源:学。科。网]22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆222:1xya（常数1a）的左顶点为R，点(,1),(,1)AaBa，O为坐标原点．（1）若P是椭圆上任意一点，OPmOAnOB，求22mn的值；（2）设Q是椭圆上任意一点，3,0Sa，求QSQR的取值范围；（3）设1122(,),(,)MxyNxy是椭圆上的两个动点，满足OMONOAOBkkkk，试探究OMN的面积是否为定值，说明理由．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知有穷数列}{na各项均不相等．．．．，将}{na的项从大到小重新排序后相应的项数．．．．．构成新数列}{np，称}{np为}{na的“序数列”．例如数列：321,,aaa满足231aaa，则其序数列}{np为2,3,1．（1）写出公差为(0)dd的等差数列12,,,naaaL的序数列}{np；（2）若项数不少于5项的有穷数列}{nb、}{nc的通项公式分别是nnnb)53((*nN)，tnncn2(*nN)，且}{nb的序数列与}{nc的序数列相同，求实数t的取值范围；（3）若有穷数列}{nd满足11d，nnndd)21(||1*()nN，且}{12nd的序数列单调递减，}{2nd的序数列单调递增，求数列}{nd的通项公式．[来源:学科网ZXXK]理科参考答案一、填空题：（每题4分）1.7252.163.54.2(2)xx5.2x6.arctan57.2*1,123,2,nnnannN8.1,09.3210.4233abrr11.612.313.314.58024二、选择题：（每题5分）15.B16.C17.C18.B三、解答题19、解：（1）553()sin()121242fA，3322A……………………..2’3A;……………………..4’（2）3()()3sin()3sin()442ff，2233[(sincos)(sincos)]222，……………………..6’36cos2，6cos4，……………………..8’又)2,0(，210sin1cos4，……………………..10’)43(f303sin()3sin4．……………………..12’20、解：（1）()()(1)(22)0xxfxfxk对一切的xR成立，……………………..4’所以1k……………………..6’（2）若0k，则函数()fx在,2单调递增（舍）……………………..8’当0k时，令20,4xt，……………………..9’则函数()kgttt在0,4上单调递减……………………..10’所以4k，……………………..13’即16k……………………..14’21、解：（1）设陀螺2T圆锥的高为h，则23rh，即32hr……………………..2’得陀螺2T圆柱的底面半径和高为3r……………………..3’231=3327rrVr柱……………………..5’23131=322Vrrr椎……………………..7’232954TVVVr柱椎……………………..8’（2）设陀螺1T圆锥底面圆心为O，则12PPr，……………………..10’得1124332PPrPOPOPr……………………..12’在1POP中，13332PPOPr……………………..14’22、解：（1）,OPmOAnOBmanamn，得,Pmanamn……………………..2’221mnmn，即2212mn……………………..4’（2）设,Qxy，则3,,QSQRaxyaxy222331xxaxayxaxaa……………………..5’22221213axaxaa22342222144111aaaaxaxaaaa……………………..6’由1a，得321aaa……………………..7’∴当xa时，QSQR最大值为0；……………………..8’当xa时，QSQR最小值为24a；……………………..9’即QSQR的取值范围为24,0a……………………..10’（3）（解法一）由条件得，122121yyxxa，……………………..11’平方得224222222121212()()xxayyaxax,即22212xxa……………………..12’122112OMNSxyxy……………………..13’222212211212122xyxyxxyy=22222221121222221(1)(1)2xxxxxxaaa2212122axx……………………..15’故OMN的面积为定值2a……………………..16’（解法二）①当直线MN的斜率不存在时，易得OMN的面积为2a……………………..11’②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykxt22222222211210xyakxktaxataykxt……………………..12’由1122(,),(,)MxyNxy，可得2221212222212,11atktaxxxxakak，2222212121212221takyykxtkxtkxxktxxxtak又122121OMONyykkxxa，可得22221tak……………………..13’因为2121MNkxx，……………………..14’点O到直线MN的距离21tdk……………………..15’12122OMNtSMNdxx2121242txxxx222222241221aakttaak综上：OMN的面积为定值2a……………………..16’23、解：(1)当0d时，序数列}{np为,1,,2,1nnL；……………………..2’当0d时，序数列}{np为1,2,,1,nnL……………………..4’(2)因为523)53(1nbbnnn