第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷附答案

2006年第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷总分200分考试时间180分钟一、（20分，每小题10分）1、如图所示，弹簧S1的上端固定在天花板上，下端连一小球A，球A与球B之间用线相连。球B与球C之间用弹簧S2相连。A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，弹簧与线的质量均可不计。开始时它们都处在静止状态。现将A、B间的线突然剪断，求线刚剪断时A、B、C的加速度。2、两个相同的条形磁铁，放在平板AB上，磁铁的N、S极如图所示。开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动。（i）现将AB突然竖直向下平移（磁铁与平板间始终相互接触），并使之停在A′B′处，结果发现两个条形磁铁碰在一起。（ii）如果将AB从原位置突然竖直向上平移，并使之停在A″B″位置处，结果发现两条形磁铁也碰在一起。试定性地解释上述现象。二、（20分，每1小题12分，第2小题8分）1、老爷爷的眼睛是老花眼。（i）一物体P放在明视距离处，老爷爷看不清楚。试在示意图1中画出此时P通过眼睛成像的光路示意图。（ii）戴了一副300度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体P，试在示意图2中画出P通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。（iii）300度的老花镜的焦距f=m。2、有两个凸透镜，它们的焦距分别为f1和f2，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为f3和f4。已知，f1f2|f3||f4|。如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为的透镜作为物镜，应选焦距为的透镜作为目镜。三、（20分，第1小题12分，第2小题8分）1、如图所示，电荷量为q1的正点电荷固定在坐标原点O处，电荷量为q2的正点电荷固定在x轴上，两电荷相距l。已知q2=2q1。（i）求在x轴上场强为零的P点的坐标。（ii）若把一电荷量为q0的点电荷放在P点，试讨论它的稳定性（只考虑q0被限制在沿x轴运动和被限制在沿垂直于x轴方向运动这两种情况）。2、有一静电场，其电势U随坐标x的改变而变化，变化的图线如图1所示。试在图2中画出该静电场的场强E随x变化的图线（设场强沿x轴正方向时取正值，场强沿x轴负方向时取负值）。四、（20分）一根长为L（以厘米为单位）的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处在大气中。大气的压强与H厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长LH。现把细管弯成L形，如图所示。假定细管被弯曲时，管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出。当细管弯成L形时，以l表示其竖直段的长度，问l取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？给出你的论证并求出水银量的最大值（用水银柱的长度表示）。五、（20分）一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电子与负电子都以速率v绕它们连线的中点做圆周运动。假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素，电子的质量m、速率v和正、负电子间的距离r的乘积也满足量子化条件，即mrv=n2h式中n称为量子数，可取整数值1,2,3,…；h为普朗克常量。试求电子偶素处在各定态时的r和能量以及第一激发态与基态能量之差。六、（25分）如图所示，两个金属轮A1、A2，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴O1和O2转动，O1和O2相互平行，水平放置。每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A1轮的辐条长为a1、电阻为R1，A2轮的辐条长为a2、电阻为R2，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半径为a0的绝缘圆盘D与A1同轴且固连在一起。一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点，绳在D上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P。当P下落时，通过细绳带动D和A1绕O1轴转动。转动过程中，A1、A2保持接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连。除R和A1、A2两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行。现将P释放，试求P匀速下落时的速度。七、（25分）图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为R，圆筒的轴线在O处。圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为B。筒壁的H处开有小孔，整个装置处在真空中。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子P以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设：筒壁是光滑的，P与筒壁碰撞是弹性的，P与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。若要使P与筒壁碰撞的次数最少，问：1、P的速率应为多少？2、P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？八、（25分）图中正方形ABCD是水平放置的固定梁的横截面，AB是水平的，截面的边长都是l。一根长为2l的柔软的轻细绳，一端固定在A点，另一端系一质量为m的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过B点使小球处于C点。现给小球一竖直向下的初速度v0，使小球与CB边无接触地向下运动，当v02分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？1、glv)13326(2202、glv)1133(220设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的。九、（25分）从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km。已知质量为m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为E=－GaMm2式中M为地球质量，G为引力常量。1、假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与从地心O到发射点C的连线之间的夹角表示）。2、若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？3、试导出E=－GaMm2。06年第23届全国中学生物理竞赛预赛参考答案及评分标准一、参考答案1、线剪断前，整个系统处于平衡状态。此时弹簧S1的弹力F1=(mA+mB+mC)g（1）弹簧S2的弹力F2=mcg（2）在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故F1、F2的大小尚未变化，但线的拉力消失。设此时A、B、C的加速度的大小分别为aA、aB、aC，则有F1－mAg=mAaA（3）F2+mBg=mBaB（4）F2－mCg=mCaC（5）解以上有关各式得aA=ACBmmmg，方向竖直向上(6)；aB=BCBmmmg，方向竖直向下(7)；aC=0（8）2、开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡。（i）从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初，板向下加速移动，板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动。在这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小。向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。接着，磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动，直线停在A′B′处。在这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不再改变。（ii）从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动也经历了两个阶段。起初，板和磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动。在这过程中，正压力增大，最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动。接着，磁铁和板一起作加速度方向向下、速度向上的运动，直线停在A″B″处。在这过程中，磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。评分标准：（本题20分）1、10分，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各1分，aA、aB的方向各1分。2、10分，（i）5分，（ii）5分，（必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由，才给这5分，否则不给分）。二、参考答案1、（i）（ii）（iii）312、f1，f4评分标准：（本题20分）1、12分，（i）4分，（ii）4分，（iii）4分。2、8分。两个空格都填对，才给这8分，否则0分。三、参考答案1、（i）通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的P点只可能位于两点电荷之间。设P点的坐标为x0，则有201xqk=202)(xlqk（1）已知q2=2q1（2）由（1）、（2）两式解得x0=l)12(（3）（ii）先考察点电荷q0被限制在沿x轴运动的情况。q1、q2两点电荷在P点处产生的场强的大小分别为E10=201xqkE20=202)(xlqk，且有E10=E20，二者方向相反。点电荷q0在P点受到的合力为零，故P点是q0的平衡位置。在x轴上P点右侧x=x0+△x处，q1、q2产生的场强的大小分别为E′1=201)(xxqkE10方向沿x轴正方向E′2=202)(xxlqkE20方向沿x轴负方向由于E′2E′1，x=x0+△x处合场强沿x轴的负方向，即指向P点。在x轴上P点左侧x=x0－△x处，q1、q2的场强的大小分别为E″1=201)(xxqkE10方向沿x轴正方向E″2=202)(xxlqkE20方向沿x轴负方向由于E″2E″1，x=x0－△x处合场强的方向沿x轴的正方向，即指向P点。由以上的讨论可知，在x轴上，在P点的两侧，点电荷q1和q2产生的电场的合场强的方向都指向P点，带正电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P点，所以当q00时，P点是q0的稳定平衡位置。带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都背离P点，所以当q00时，P点是q0的不稳定平衡位置。再考虑q0被限制在沿垂直于x轴的方向运动的情况。沿垂直于x轴的方向，在P点两侧附近，点电荷q1和q2产生的电场的合场强沿垂直x轴分量的主向都背离P点，因而带正电的点电荷在P点附近受到沿垂直x轴的分量的电场力都背离P点。所以，当q00时，P点是q0的不稳定平衡位置。带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P点，所以当q00时，P点是q0的稳定平衡位置。2、如图评分标准：（本题20分）1、12分，（i）2分（ii）当q0被限制在沿x轴方向运动时，正确论证q00，P点是q0的稳定平衡位置，占3分；正确论证q00，P点是q0的不稳定平衡位置，占3分。（未列公式，定性分析正确的同样给分）当q0被限制在垂直于x轴方向运动时，正确论证q00，P点是q0的不稳定平衡位置，占2分；正确论证q00，P点是q0的稳定平衡位置，占2分。2、8分。纵坐标的数值或图线有错的都给0分。纵坐标的数值、图线与参考解答不同，正确的同样给分。四、参考解答：开始时竖直细管内空气柱长度为L，压强为H（以cmHg为单位），注入少量水银后，气柱将因水银柱压力而缩短。当管中水银柱长度为x时，管内空气压强p=(H+x)，根据玻意耳定律，此时空气柱长度L′=xHHL（1）空气柱上表面与管口的距离d=L－L′=xxHL（2）开始时x很小，由于LH，故xHd1即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至d=x（即水银柱上表面与管口相平）时为止。何时水银柱表面与管口相平，可分下面两种情况讨论。1、水银柱表面与管口相平时，水银柱未进入水平管，此时水银柱的长度x≤l，由玻意耳定律有(H+x)(L－x)=HL（3）由（3）式可得x=L－H（4）由此可知，当l≥L－H时，注入的水银柱的长度x的最大值xmax=L－H（5）2、水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管，此时注入水银柱的长度xl，由玻意耳定律有(H+l)(L－x)=HL（6）x=lHLl(7)lx=lHLl（8）由（8）式得lL－H或LH+l（9）x=L－HlHLL－H（10）即当lL－H时，注入水银柱的最大长度xxmax。由上讨论表明，当l≥L－H时，可注入