数学竞赛试题分类概率、数论、杂题

全国初中数学竞赛试题分类五：《概率、数论、杂题》（1999）有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到：．（1）证明：可以得到22；（2）证明：可以得到2100＋297－2．（2001）如果cba,,是三个任意整数，那么2,2,2accbba【】（A）都不是整数（B）至少有两个整数（C）至少有一个整数（D）都是整数（2002）如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？（2003）某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有【】(A)1种(B)2种(C)4种(D)0种（2003）某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？91812176141571110135OBCDEAFGH（2003）沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式))((cbda0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有))((cbda≤0？请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有))((cbda≤0？请说明理由.653421（2005）有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列.某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是＿＿＿＿＿.（2005）从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a，b，c（a＜b＜c），都有abc.（2006）已知0a1，且满足183029302301aaa，则a10的值等于．(x表示不超过x的最大整数)（2006）小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．（2006）10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．（2007）口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是【】（A）14（B）16（C）18（D）20（2007）已知对于任意正整数n，都有321naaan，则11111110032aaa（2007）（1）是否存在正整数m，n，使得)1()2(nnmm？（2）设)3(kk是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得)1()(nnkmm？（2008）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴有两个不同交点的概率是【】(A)512(B)49(C)1736(D)12（2008）将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有【】(A)2种(B)3种(C)4种(D)5种（2008）从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求n的最小值．（2009）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组322axbyxy，只有正数解的概率为【】（A）121（B）92（C）185（D）3613（2009）10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．（2009）已知正整数a满足3192191a，且2009a，求满足条件的所有可能的正整数a的和．（2009）n个正整数12naaa，，，满足如下条件：1212009naaa；且12naaa，，，中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．（2010）在一列数123xxx，，，……中，已知11x，且当k≥2时，1121444kkkkxx（取整符号a表示不超过实数a的最大整数，例如2.62，0.20），则2010x等于【】(A)1(B)2(C)3(D)4（2010）对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若n的最小值0n满足020003000n，则正整数k的最小值为．（2010）求满足22282ppmm的所有素数p和正整数m.（2010）从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？（2011）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是_________。