江苏省高考物理复习配套检测：第九章　微小专题5　带电粒子在磁场中运动的临界极值

微小专题5带电粒子在磁场中运动的临界极值与多解问题1.如图所示,在边长为L的等边三角形ACD区域内,存在垂直于所在平面向里的匀强磁场.大量的质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同速度(速度大小未确定)沿垂直于CD的方向射入磁场,经磁场偏转后三条边均有粒子射出,其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0.不计粒子的重力及粒子间的相互作用.求:(1)磁场的磁感应强度大小.(2)要确保粒子能从CD边射出,射入的最大速度.(3)AC、AD边上可能有粒子射出的范围.2.(2016·扬州一模)现代物理经常用磁场来研究同位素粒子,在xOy坐标系内有垂直于平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B.现有电荷量均为+q的a、b两粒子从坐标原点O以相同速率v同时射入磁场,a沿x轴正方向,b沿y轴正方向,a粒子质量为m,b粒子质量为2m.不计粒子重力以及粒子间相互作用.(1)求当a粒子第1次刚到达y轴时,b粒子到达的位置坐标.(2)a、b粒子是否会再次相遇?如能,请通过推导求出何时相遇;如不能,请简要说明理由.(3)设两粒子在y轴上投影的距离为Δy,则Δy何时有最大值?并求出Δy的最大值.3.(2016·海安中学)aa'、bb'、cc'为足够长的匀强磁场的分界线,相邻两分界线间距均为d,磁场方向如图所示,Ⅰ、Ⅱ区磁感应强度分别为B和2B,边界aa'上有一粒子源P,平行于纸面向各个方向发射速率为的带正电粒子,Q为边界bb'上一点,PQ连线与磁场边界垂直,已知粒子质量为m,电荷量为q,不计粒子重力和粒子间相互作用力.求:(1)沿PQ方向发射的粒子飞出Ⅰ区时经过bb'的位置.(2)粒子第一次通过边界bb'的位置范围.(3)进入Ⅱ区的粒子第一次在磁场Ⅱ区中运动的最长时间和最短时间.4.(2016·南通一模)控制带电粒子的运动在现代科学实验、生产生活、仪器电器等方面有广泛的应用.现有这样一个简化模型:如图所示,y轴左、右两边均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场,右边磁场的磁感应强度始终为左边的2倍.在坐标原点O处,一个电荷量为+q、质量为m的粒子a,在t=0时以大小为v0的初速度沿x轴正方向射出,另一与a相同的粒子b某时刻也从原点O以大小为v0的初速度沿x轴负方向射出.不计粒子重力及粒子间的相互作用,粒子相遇时互不影响.(1)若a粒子能经过坐标为的P点,求y轴右边磁场的磁感应强度B1.(2)为使粒子a、b能在y轴上Q(0,-l0)点相遇,求y轴右边磁场的磁感应强度的最小值B2.(3)若y轴右边磁场的磁感应强度为B0,求粒子a、b在运动过程中可能相遇点的坐标值.微小专题5带电粒子在磁场中运动的临界极值与多解问题1.(1)(2)(3)见解析【解析】(1)由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,T==,当粒子垂直于AD边射出时,根据几何关系有圆心角为60°,t0=T,解得B=.(2)当轨迹圆与AC、AD都相切时,粒子能从CD边射出,半径最大,速度为最大值,此时r=sin60°=L,由qvB=m得r=,解得v=.(3)由(2)知,当轨迹圆与AC相切时,从AC边射出的粒子距C最远.故有粒子射出的范围为CE段,xCE=cos60°=,当轨迹圆与AD边的交点F恰在圆心O正上方时,射出的粒子距D点最远.故有粒子射出的范围为DF段,xDF==.2.(1)由qvB=m可知a粒子半径r1=,周期T1=,b粒子半径r2==2r1,周期T2==2T1,a粒子第1次刚到达y轴历时Δt==,此时b粒子运动周,位置坐标为.(2)由图可知,ab可能在O、P点再次相遇由T2=2T1,a、b粒子经过t=T2=在O点再次相遇,该过程粒子不可能在P点相遇,所以a、b粒子在t=(k=1、2、3、…)时刻相遇.(3)解法一:由第(1)问分析可知,当a粒子第二次到达其圆轨迹最高点时(即a粒子运动了T1),b粒子恰好在其圆轨迹的最低点,此时两粒子在y轴上投影的距离Δy最大.考虑圆周运动的周期性,此后a粒子每运动两周,b粒子运动一周,两粒子在y轴上投影的距离Δy再次最大,所以t=T1+n·2T1=时Δy最大,Δymax=4r1=.解法二:由qvB=m可知:a粒子半径为r时,b粒子的半径为2r,由T=可知:b的半径扫过θ角时,a的半径扫过2θ角,Δy=r-rcos2θ-2rsinθ=r-r(1-2sin2θ)-2rsinθ=2r(sin2θ-sinθ)=2r[(sinθ-0.5)2-0.25],当sinθ=-1时,Δy有最大值4r,此时θ=2nπ+1.5π,即2nπ+1.5π=ωt==,得t=时Δy最大,Δymax=4r=3.(1)(2-)d(2)2d(3)【解析】(1)由洛伦兹力充当向心力得qvB=,R=,把v=带入得,r1=2d,如图所示可得,sinθ==,θ=30°,PM=QN=2d-2dcosθ=2d-d=(2-)d,所以经过bb'的位置为Q下方(2-)d.(2)当正电粒子速度竖直向上进入磁场Ⅰ,距离Q点上方最远.由几何关系得cosα1==,α1=60°,QH1=2dsinα1=d.当正电粒子进入后与bb'相切时,距离Q点下方最远由几何关系得cosα2==,α2=60°,QH2=2dsinα2=d.所以有粒子通过的的范围长度为L=2d.(3)r2==d,T==,轨迹圆所对应的弦越长,在磁场Ⅱ中的时间越长.当轨迹圆的弦长为直径时,所对应的时间最长为tmax==,当轨迹圆的弦长为磁场Ⅱ的宽度时,从cc'飞出所对应的时间最短为tmin==,从bb'飞出所对应的时间最短为tmin==,所以最短时间为tmin=.4.(1)设a粒子在y轴右侧运动的半径为R1,由几何关系有+=,由于B1qv0=m,解得B1=.甲(2)B2最小,说明Q点是a、b粒子在y轴上第一次相遇的点,由图乙可知,a、b粒子同时从O点出发,且粒子在y轴右侧运动的圆周运动半径R2=,又B2qv0=m,解得B2=.乙(3)由图丙可见,只有在两轨迹相交或相切的那些点,才有相遇的可能性,所以有y轴上的相切点和y轴左侧的相交点.经分析可知,只要a、b粒子从O点出发的时间差满足一定的条件,这些相交或相切的点均能相遇.粒子在y轴右侧的运动半径r1=,粒子在y轴左侧的运动半径r2=,①y轴上的相切点坐标为(k=1,2,3,…).②y轴左侧的相交点相遇由图丙可知,OA=AC=OC=r2.可得xA=-r2sin60°=-,yA=-r2cos60°=-,y轴左侧的相遇点的坐标(n=1,2,3,…).丙