第32届全国中学生物理竞赛复赛模考训练第06套_UPhO邀请赛 (附答题纸）

第32届全国中学生物理竞赛复赛模拟训练(6)第一届UPhO邀请赛满分160分命题人蔡子星考试说明：1、本次比赛邀请各重点中学物理竞赛选手参加，旨在加强校际交流，帮助同学进入考试状态，锻炼考试做新题的心态。3、请只在答题纸上填写最终结果，所有答案除特殊说明外，为三位有效数字的科学计数。答题纸后可另附解题过程，但仅作评分参考。可以使用非编程计算器独立作答。题一经过长期的观测，人类又确定一颗距离地球1520l光年的行星的存在，并将其所属恒星命名为CZ星。这样遥远的恒星对于人类最精密的望远镜来说，也是模糊的一团，不能分辨内部结构，但是通过对于光的强度和频率的仔细测量，人们还是能对推测出这样行星的存在，并推测行星的属性。（1）假设恒星表面满足黑体辐射定律。已知太阳表面温度约35.510KST，太阳光辐射的峰值波长约为550nmS。CZ星的星光辐射峰值波长约为400nmC，由此估算CZ星表面温度CT为多少?（2）不考虑星际尘埃的影响，测量得到该星光在太阳系内的能流密度平均值为13-25.1710WmCS，斯特藩为8-2-45.6710WmK，由此估算恒星的半径Cr为多少？（3）当行星、CZ星、地球位于一条直线上的时候，星光会被行星挡住一部分，从而变弱，形成凌日现象，我们可以由此推断行星的存在。我们观测到的凌日现象时，光强大约变弱了0.01%，由此推算行星半径和恒星半径的比值/PCrr为多少？（4）我们发现凌日现象的持续时间为10LT小时，出现的周期为568PT天。并发现星光的频率随时间有周期性的波动，周期与PT相同。这种现象产生的原因是恒星受到行星的影响，来回摆动，从而引起多普勒效应。观察到氢的谱线最高频率和最低频率相对差值为10/6.910。我们由恒星的半径和温度估算得到恒星的质量为302.610kgCM。由行星半径可以知道这是一颗固态行星，推测其密度为3-35.010kgm。万有引力常数11-226.6710NkgmG，计算行星运动的速度Pv为多少？（5）计算行星运动的轨道半径PR为多少？（6）计算行星表面的重力加速度Pg；（7）假设行星表面对恒星光线的反射率为0.1r，而行星辐射在红外区域，其辐射可以近似使用黑体辐射公式。估算行星表面温度OT；（8）计算行星运动和黄道面和恒星到我们的连线之间的夹角（用弧度制表达）；（9）假设宇宙中文明均匀的分布且非常多，则有可能看到CZ星星系中行星凌日现象的文明占全体文明的比例为多少？【分析】（1）考察维恩位移定律；（2）利用黑体辐射定律即可；（3）行星遮挡了恒星发出的部分光，因此总亮度会降低。（4）考察多普勒效应；（7）平衡时吸收和辐射的能量相同；（8）其黄道面与到太阳系的夹角非零，导致凌日时间比在CZ星赤道中的更短；（9）行星凌日所扫出的立体角内的空间是可能发现凌日现象的。【解答】（1）由维恩位移定律可知黑体辐射峰值波长与温度之乘积为常量，因此有：SSCCTT得到37.56210KCT（2）能流密度为CZ星总能量除以到太阳系所对应的总球面积，因此由黑体辐射公式可得：42244CCCTrSl解得：84=7.59810mCCCSrlT（3）遮住的面积与恒星总面积之比正比于光亮度之比：220.01%PCrr解得：/0.01PCrr（4）由于频率改变极小，可知恒星运动速度Cv远小于光速，可用经典多普勒效应：CCcccvcv保留到一阶小量可解得：1013.45101.03510m/sCvc因此有行星速度：432.92910m/s43CCPPMvvr（5）轨道半径满足：2PPRvT得到112.28810m2PPvTR（6）重力加速度为：32244310.61m/s3PPPPGrgrGr（7）行星单位时间内吸收、辐射的能量相同：4224224144CCPOPPTrrrTrR得到：1/4221300.1KCOCPrTrTR（8）其黄道面与到太阳系的夹角非零，导致凌日时间比在CZ星赤道中的更短，如图所示，有：2cosCLPrTv因此满足：sinsinCPrR得到：222/4arcsin0.1598radCLPPrTvR（9）只需要求出2角内扫出的立体角即可，因此有：sinCPrR221cos/214得到：33.32110CPrR题二宇宙这么大，于是我们想去看一看1520光年远的CZ星。鉴于曲率推进技术并不成熟，我们决定使用反物质推进的方案，即将正反物质湮灭为光子，让光子沿着与航线相反方向发射，利用光的动量推进飞船，或者沿着航线方向发射，用来减速。推进器和飞船自重为0m。方案一：让飞船携带总质量为0MZm的正反物质燃料（质量比为1：1）。方案二：只携带/2M的正物质，飞船一边收集反物质一边将其和正物质湮灭为光子推进。（1）将全部燃料用于加速，飞船最终到达的速度max/vc为多少？（2）假设在飞船参照中，推进器单位时间能消耗的燃料质量为，则当总消耗燃料质量达到M时（1/2），在地面参照系中，方案一的速度1/vc为多少？（3）方案二的速度2/vc为多少？（4）接（2）问，在地面系中方案一的飞船加速度为1a，10amc为多少？（5）接（3）问，在地面系中方案二的飞船加速度为2a，20amc为多少？(取3.63Z，0.423）【分析】包含喷出的光子在内，整体能、动量守恒即可。在计算加速度时要考虑到加速度变换，通常不会去记，所以需要现推……【解答】（1）包含被喷出去的光子，两种方案的初态和末态条件是一样，所以结论相同。假设有能量为E的光子被喷出去。如图，令2max11(/)vc由动量守恒(由质能关系222220()Emcpc可以得到飞船动量为201mc)2010Emcc由能量守恒222000mcEZmcmc解得22222ZZZ于是2max2(Z1)10.911(Z1)1vc（2）同上一问计算，注意在飞船系消耗的0Zm的物质，在地面系中并不产生能量为20Zmc的光子。只需要把初态和末态的质量比由(1):1Z变为(1):((1)1)ZZ即可222122211((1)/(1))10.382((1)/(1))111ZZZvZZZcZZZZZZ（3）初态有0(1/2)mZ在船上，有0/2mZ反物质等待被接受。末态有01(1(1))2mZ在船上，剩下的是光子，设能量为E设速度对应的21/222(1)vc由动量守恒2011(1(1))02EmZcc由能量守恒220011(1(1))(1(1))22mZcEmcZ解得2222(1)()22(1)()22ZZZZ222(1)20.508(1)()22ZZvZZc（4）在飞船系中，此时静质量为0(1(1))mZ，在d的时间内喷出d的光子，飞船获得速度'dv，由于动量守恒，得到0(1(1))'mZdvdc由速度变换，在地面系中''1vdvvdvvdvcc保留到一阶小量化简得到22(1)'vdvdvc由钟慢效应dtd这样加速度满足330'(1(1))dvdvcadtdmZ22331011(1)(1(1))()0.2551(1)1(1)2(1)(1(1))amZZcZZZZ（5）在飞船系中，此时静质量为0(1(1))2Zm，有2d的反物质在d时间内以速度v飞入，有d的光子飞出，由动量守恒：20(1(1))'1/22Zmdvdcdc这样飞船系中加速度满足20(11/2)'(1(1))2dcdvZdm其他的部分和前一问相同230(11/2)0.220(1(1))2amZc其中2222(1)()22(1)()22ZZZZ题三如图在匀强磁场B中，有两个质量为m的点电荷A、B，间距为l，电量均为q，初态静止。考虑静电作用，静电常数为K，不考虑相对论效应。（1）求此后两个粒子运动的最大间距；（2）将B的电量由q改为q，要求两个粒子不要发生碰撞，则磁场最小值0B为多少？（3）若磁场为大于上一问的最小值0B的1B时，求出粒子之后运动中的最近距离0l。（取0.0295TB，5.12ml，111.8810kgm，11.75TB）【分析】两种情形下都有静电能和动能之和守恒，在第一种情形，考虑体系角动量的变化，第二种情形考虑体系沿竖直方向的动量的变化，各可得一方程，联立能量守恒方程可求解最大间距和最小间距。【解答】（1）由体系能量守恒有222221122222KqKqmml其中为电荷到中心的距离，为它和水平方向的夹角。由于体系具有旋转不变性，所以考虑可能出现正则角动量守恒。由角动量定理得到：2dLdqBdtdt于是2()0dLqB即2LqBc为常量，考虑初始位置可得222222lLqBmqBqB代入能量守恒方程可得222222222211(/4)2202242lKqKqmmqBml当两个粒子运动的间距最大时0，于是22222(/4)042lKKBml记l，234BlamK，212204a的第一个大于1的正根为1，则122l即为所求最大距离。利用数值求解可以得到最大距离为1238.7mdl（2）类似（1），由于体系具有y方向平移不变性，所以可能有正则动量守恒。由动量定理22myqBxcqBl另有能量守恒方程22221122222KqKqmymxxl联立得222222(2)42qBKqKqmxxlmxl相距最近时0x，于是2211(2)42BxlKmxl即223211042BlxlmKlx记2xl，234BlamK，则21110a，即210aa方程在01有解意味着两个粒子不发生碰撞，此时2344BlamK即0340.142TmKBBl（3）对于10BB即4a，可解得11124a当11124a时，两粒子均已沿竖直方向运动，且此后两者开始分离，故舍去另一根得最小间距为231162115.11m2lmKxBl题四如图，某人在练习理想凸透镜（即对于任意通过透镜的光线都满足成像规律）成像作图，但是由于年代久远，透镜和光心，以及部分物点像点（透镜下方为实物，上方为虚物）已经模糊不清了，只知道物点是一群分布在一条抛物线上的点，这条抛物线顶点在原点，开口向y轴正方向。这些点的像点在另一条抛物线上，这一条抛物线开口向y轴负方向，且通过A、B两个点。A、B点坐标分别为11(,)xy和22(,)xy（1）求出像点所在抛物线的顶点的y坐标h；（2）求出透镜光心的纵坐标p；（3）求出透镜的焦距f。（取12cmx，10cmy，29cmx，2263cmy）【分析】（1）问直接根据已知点坐标求得抛物线方程；（2）要求抛物线分布的物成像也分布在抛物线上，且对任意的位置的物、像都成立，可由此确定参数之间的关系。【解答】（1）先证明透镜光轴必须沿y轴。在主光轴上建立物像两个坐标系(,)xy和(,)xy，以各自焦点为坐标原点，则由牛顿成像公式可得物像之间关系为：2fyyfxxy物分布在一条抛物线上，其一般方程为：220aybycxdxeyxg