第29物理竞赛复赛模拟赛题第3套答案及评分标准

第29届复赛模拟赛题第二套1第29届复赛模拟赛题第三套答案及评分标准满分160分第一题（22分）一个质量为m的人站在长度为l质量为M的木板上，木板和地面摩擦系数为。要求人在不同的位置都能将自己和木板拉离地面（木板绕着右方端点转起来，而不发生滑动，人的脚和木板之间用胶水黏起来，不会分离和华东）。问摩擦系数应当满足的关系。取m/M=2。【解】：力和力矩平衡得以右方点为支点，对木板写力矩方程：(cos)(tan)02lTlMgmgTll（4分）竖直方向受力平衡cosNTTmgMg（3分）水平方向受力平衡sinfT（3分）不滑动Nf（2分）解得tan4sin2cos1tansin4sin5（5分）数值解得：5sin4sintan0.4551cos2sin4tan，当0.4061取到（5分）llx第29届复赛模拟赛题第二套2第二题（20分）【梯子不用时请横放】一个梯子用完了，靠在墙上，小明同学不小心一脚踢到了梯子上，将梯子踢飞了，脚肿了不要紧，要紧的时砸到了花花草草，甚是不安。现在我们来粗略还原一下现场。为了简化问题，将梯子视为质量为M、长度为L的匀质棒子，竖直靠在墙上。梯子与地面、墙面的摩擦系数忽略不计，小明同学的脚视为质量为m的质点。脚的初速度方向也平行于墙与地面的交线，脚踢到梯子时，碰撞点为梯子的最下方，视为完全非弹性碰撞，且碰撞时间非常短，之后由于小明疼痛难耐，脚不再与梯子接触。（均匀棒绕质心的转动惯量为I=ML2/12）1）求小明以初速0v踢完梯子瞬间梯子的运动状态。2）若小明这一脚踢得很重，刚刚踢完，梯子就直接“飞”起来了（即接触点与地面分离），问脚的初速度至少为多少。【解】：（1）设撞击之后梯子的质心速度为xv，角速度为，撞击之后脚的速度为1v由动量守恒：10xmvMvmv（3分）以地面为参照系，以初态梯子的质心为参照点写角动量守恒：21012122llmvMlmv（4分）由能量守恒22222101111222122xlmvMvMmv（4分）（这个方程也可以写成相对速度不变1xrvv）解得06(4)mvmMl，0144mvvmM，04xmvvmM（5分）要求开始的时候能飞起来，需22lg，所以0(4)26mMvglm（4分）第29届复赛模拟赛题第二套3第三题（20分）某军用无线电技术利用干涉可以保证通讯的安全性，某指挥部的无线电发射基地设在A处，B、C为两不同作战单位，可接收无线电信号，为防止泄密，指挥部希望与其中一个作战单位通讯时，另一个作战单位不能同时收到信号。因此指挥部架设了两根发射天线S1和S2，可以同时发出信号，并且两天线所发出信号的相位差可在每次发射前调整，采用的无线电波波长为，如图所示，AB方向线朝AC方向线逆时针转角。图中A、S1、S2三点共线，连线长度为r，AB方向线沿逆时针方向到S1S2方向线的转角记为（顺时针方向为负），A、B间距和A、C间距都远大于r和。（1）取不同的，找出r可取的最小值minr。（2）取minr，画出S1S2连线相对AB连线和AC连线的方位图，标出相应的角旋转方向。（3）取minr，对给定的发射功率，为使B处收到的信号最强，试求输入S1S2之间信号的相位差。【解】：（1）干涉时，由于要求其中一处的信号是完全加强的，另一处是完全相消的，则两信号源发射信号到B的相位差与到C的相位差之差，应为正负半波长coscos()2rr（4分）考虑到r为正值，得到2coscos()r利用和差化积公式得到4sinsin()22r(4分)当02时，有min4sin2r（2分）（2）由于0如图第29届复赛模拟赛题第二套4（2分）（3）此时在B点接收到的相位差为cosLr（3分）设1S超前相位，则2Lk（3分）解得4124k（2分）第29届复赛模拟赛题第二套5第四题（20分）三叶草一根特殊的弹簧，原长为0，当长度0xR时，弹力为6Fkx，当长度2RxR时，弹力Fkx。将弹簧一端连在在光滑水平桌面上的固定点上，可自由转动，另一端系着质量为m的小球。现在将小球拉至2R位置，并以垂直于弹簧的初速00.7877kvRm释放。（1）求出小球最靠近原点的时候的速度大小，以及和原点的距离。（2）求出从释放小球到小球第一次最靠近原点的过程中，弹簧的方向转过了多少角度。（3）定性描绘小球的轨迹。【解】：（1）写出势能函数22216(0)2115(2)22ppEkxxREkxkRRxR（2分）总能量2201922EmvkR（2分）假设在最近点距离为0b，由角动量守恒，此时速度为002vRb由能量守恒：2222000021119()62222vREmkbmvkRb解得00.5684bR（2分）（2）在xR和xR区域分别在两个正交的方向上做简谐振动。（3分）在xR区域，假设初态相位为0，到达xR相位为1则有22211(2cos)(0.7877sin)RRR有170.42，（2分）此时转过的角度为1110.7877sinarctan()47.912cos（2分）在xR区域，假设最近点相位为0，反向到达xR相位为2两个方向振幅分别为00.5684bR，00021.13156/6/RvvaRkmbkm（2分）有2220202(cos)(sin)baR有257.24，从xR到最近点转过的角度02202sinarctan()72.09cosab（2分）总共转过角度12120.00（1分）（3）画出三叶草（2分）第29届复赛模拟赛题第二套6p.s.传说中四片叶子的三叶草常常作为幸运的代表，其实仔细想想应当是变异的产物。换句话说变态产物常幸运，智障儿童欢乐多第29届复赛模拟赛题第二套7第五题（20分）【某萝莉的超电磁炮】御坂美琴的绝招之一是高速射出硬币以打击目标，现在我们建立简单模型对其进行分析。设美琴产生的高压击穿空气，产生两条很长的半径为r，电流密度为J的等离子柱，中间是通有电流的半径为R、质量为m的硬币，电流I穿过硬币，I远小于等离子柱中的电流（如图）。1）若硬币最左侧所在位置的磁感应强度与硬币中心处磁感应强度的差别小于10%，即可视为匀强磁场，试问可以将其视为匀强磁场的r、R之间关系。2）在1）问的条件下，以硬币中心处的磁感应强度近似表示这个准均匀磁场。若美琴的能力能够使等离子柱长达20m，沿着竖直方向分布，要求能将硬币以速度20/vms发射，则等离子体柱中的电流密度至少为多少？取g=9.8m/s2,r=30mm,R=11.3mm,m=4.8g,I=10A，70410/Hm【解】：1）感应强度反比于与离子柱中心的距离，2112110%90%2RrrrRRr故2.16rR（6分）2）BIRBILF2；（3分）2022()JrBrR（3分）加速度22min10/2vamsS（3分）故20min2()JrFIRmagrR（2分）解得721.510/JAm（3分）第29届复赛模拟赛题第二套8第六题（20分）如图是一个老式的蒸汽机。右边是一个体积为0V的气缸，内部存有一些水，下方有火炉加热。左边也是一个体积为0V的气缸，上方是一个活塞，忽略活塞质量和摩擦。活塞上方是一个传动杆，连接到机械上。蒸汽机的工作流程是这样：某时刻左右气缸内均为温度为0273TK的饱和水蒸气，封闭中间的阀门，将传动杆练到负载上，通过冷却器将左边活动温度迅速降到1243TK，然后活塞开始向下运动，拉动传动杆做功。几乎平衡之后，将左边气缸水排出，将传动杆与负载断开，打开中间的阀门，饱和蒸汽将活塞顶起来，使得左边气体积到达0V，回到初始状态，反复循环。请计算此蒸汽机的热机效率的最大值，以及一个循环中蒸汽机做功的最大值。（大气压为0p，243K的水蒸气饱和蒸气压为0p，水的密度远大于水蒸气密度，活塞底面积为S，水蒸气的摩尔质量为，普适气体常量为R，273K温度下，单位质量的水的汽化热为L）【解】：由于左侧温度始终为343K，故压强始终为0p（4分）从而有效功为0000)1()(VpShppFhW（5分）每次循环，蒸汽机做功使得000RTVPn的液体变成气体。（4分）故总功000RTVLPnLW总（5分）故热机效率为LRTWW0)1(总（2分）第29届复赛模拟赛题第二套9第七题（20分）一个质子以速度v撞向一个静止的质子，结果撞完之后变成了三个质子加一个反质子。为了让反应能够进行，入射的质子速度至少应当为多少。如果改为两个质子对撞，两个质子的速度相同，则速度'v至少应当为多少？【解】：（1）一个动的质子撞静质子，相对质心看，与前者相同，故能量最小的情形下，三个质子和一个反质子速度相同。故422242222)4(4cmcPcmcPcmppp其中221cvvmPp（7分）解得cv734（3分）（2）两个质子相同速度对撞时，应有总动量为0.故2422242cmcmcPpp其中221cvvmPp（7分）解得cv23（3分）第29届复赛模拟赛题第二套10第八题（18分）如图，在两根水平放置的间距为l的无电阻的金属光滑轨道上，垂直放置了n根质量为m，电阻为r的导体棒，初始状态第i根棒的速度为iv，当作已知量。假设每根棒之间的间距都足够远，直到各棒相对静止的时候都没有发生碰撞。求从初始状态开始到各棒相对静止，第1根棒跟第n根棒之间的相对位移为多少？【解】：考虑两金属导轨的电势差，应有rIBlvUii（I为从下到上的电流）（4分）由基尔霍夫定律01niI（4分）故niBlvnU1，vBlU（2分）带入得)(vvBlrIii故由受力分析及牛二律mrvvlBaii)(22（2分）由加速度定义iiixmrlBtmrvvlBv2222)(其中ix为相对质心的位置改变量。两侧求和得iixmrlBvv22（5分）故第1根棒跟第n根棒之间的相对位移为2212212211)()()(lBvvmrlBvvmrlBvvmrxxxnnnn（1分）1v2vnv