七年级数学竞赛期末冲刺讲义三(含答案)

期末冲刺讲义（三）三角形有关计算和证明【知1】角平分线上的点到两边距离相等，这可以成为全等中一个“S”的来源，务必注意全等一定是有至少一组边相等的关系;此外，角平分线分对边之比为邻边之比，是角平分线的另一个重要性质，这一性质定理的逆定理同样成立.【例1】如图，ABAC，1902ADBBDC，求证：BC．ABCD延长CD至E，则AD平分∠BDE，过A向两边作垂线，HL全等【例2】如图，△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD=60°．求证：.BDABCD延长CD至G使BD=DG，过A向∠BDE两边作垂线AE、AF，△ABE≌△ACF（AAS），则AD平分∠BDE，则△ABD≌△AGD（AAS），则正△ACG，则证得.【例3】证明边长为12、9、7的三角形中，有一个角是另一个角的两倍.作7这一边的角平分线，分成4和3，对称得等腰.【知2】满足（SSA）的两个三角形若不全等，则两个三角形有一组互补的角；因此可知若满足（SSA）的为两锐角三角形或两钝角三角形，则全等.【例4】在∠A的角平分线上取一点D，角的两边上分别取B、C，当ADACAB3时，一定有DCDB,求∠A.取AC=0，知一等腰三角形底边为腰的根号3倍，那么其底角为30°.故角A只能为60°然后证明∠A=60°时一定成立.【知3】轴对称的图形必全等，中心对称的图形同样全等.【例5】已知周长一定的三角形中，正三角形的面积最大；那么一个边长为1的正三角形绕中心旋转后，与原来的重叠部分的面积最小值为？边上的六个小三角形每个周长为定值，借助引理，知面积最小值为.63)31(433432【知4】△ABC的中线长.42222BCACABAD【例6】△ABC的BC边上的三等分点为D、E，设,,,cABbACaBC求.22AEAD中线362422222222aAEADacbAF【例7】在△ABC内有一点P使得222PCPBPA最小，求证此时.31222222CABCABPCPBPA取P为重心，代入计算；事实上重心时取最小值，可选讲【知5】利用截长补短的方法构造全等，是由结论引发的常见辅助线思路，具体截长还是补短，怎样截补，需看怎样作能够简化条件.【例8】在正方形ABCD中，M、N分别在CD、AD所在直线上，且BN⊥BM，NE平分∠DNM交BD于E，EF⊥MN于F，求证：.2MNEFAD作EH⊥AD于H，只需证2AH=MN又易知.222MNAHBNBE证得.【知6】下例是两个常用的形状，可采用反证法证明.构造这两个形状的辅助线也颇有效.【例9】等腰△ABC顶角∠BAC为,2有一点D使A在△DBC内，，且,BDC另有一点E与A在BC异侧，且,180BEC求证：.AEADACAB反证：若ADAB,由角度得到矛盾；ADAB同理.类似有AE.其中AD有两种情况.注：还有同侧D在△ABC外的一种情况，需用同一法，可选讲.【知7】平移变换，保持角度不变，长度不变；用以将已知元素集中，使各元素之间的关系明朗化。【例10】如图，在等腰三角形中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，恰有AD＝BC＝CE＝DE．求证：∠BAC＝100°．平移BC至DF,△ADE≌△CEF.【例11】在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P．若3ACBD，3CDAE，求∠APE的度数．平移CD至AF，AC至DF，150°【知8】在同一顶点上一个角内有一个半角，或可通过旋转证明全等或得到结论；在同一顶点上有两个等角，这本身就是一个旋转的模型.此外，等腰三角形的两腰，等边三角形均可成为旋转的始边和终边.【例12】在△ABC形外做等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，使90CAEBAD，作AHBC于H，延长HA交DE于M.求证：DM=ME.旋转△ABC至△DAF，E、A、F共线，只需证AM∥DF，易得.【知9】对称变换保持距离、角度、面积等不变，同时对称点连线被对称轴垂直平分.利用反射的不变性，也可以集中已知元素或构造特殊三角形.【例13】单位正方形内有一条不自交的曲线将正方形分成面积相同的两部分，若曲线的起点和终点都在正方形的边界上，求证曲线的长度不小于1.分在对边：显然；在邻边：必与对角线有交点，关于对角线作一次对称对称到对边上；在同一边，必与平行此边的中位线有交点，作一次对称对称到对边上.【例14】在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=30°，R为形内一点，∠RAC=∠RCB=20°，求∠RBC.作△ADC与△ARC关于AC对称，再作△EDC与△ADC关于DC对称，有正△ADE，B、A、E共线，ER为等腰三角形EBC的角平分线，因此∠RBC=∠RCB=20°.【知10】几何作图相关：需熟悉的几种作图：垂直平分线、角平分线、垂线、轴对称、平行线，正三角形，15°角的整数倍;引申而来的作图包括平行四边形、中位线、内心、外心、垂心等.在尺规作图中，一要必须准确，二要追求简洁.对于必要的一些截取线段的作图，需辅以文字说明.【例15】在一个角内有一个定点，过该定点作一条端点在角两边的线段，使得其恰好为中点.当然，步数越少越好.【例16】在一个角内有一个定点，过该定点作一条端点在角两边的线段，使得其恰好为等腰三角形.当然，步数越少越好.注：一般作法，角平分线，然后作垂线【习1】△ABC中，∠BAC=120°，AD、BE、CF为三条角平分线，求证：ED⊥FD.只需证ED平分∠CDA.【习2】求边长为4、5、6的三角形中6这一边上的角平分线长..310【习3】如图，△ABC中70CAB∠，I是△ABC内心，若CAAIBC，求ABC∠的度数.【习4】△ABC中，60CAB∠，D、E分别在边AB、AC上，且60AED∠，EDDBCE，2CDBCDE∠∠.求DCB∠.【习5】如图所示，在等腰△ABC中，AB=BC.BE⊥AC于E，有一点D使得AD=AC，∠DBE=60°，∠D=70°，求证：AB=BD.【习6】在正三角形ABC的两边AB、AC上分别取点D、E使得AD=CE，恰有BE=1,则△ADE的中线AF长度为？【习7】如图，PQ是边长为1的正方形ABCD内两点，使得45PAQPCQ∠∠，求PABPCQQADSSS的值.【习8】在△ABC的两边向外作正△ABD和正△ACE，G、H分别是AD、CE的中点，F在线段BC上，BF=3CF，试探究△FGH的形状.【习9】如图，在△ABC中，∠ACB=2∠ABC，P为三角形内一点，AP=AC，PB=PC，求证：∠BAC=3∠BAP．【习10】任给三条平行线，请画一个正三角形，使得三个顶点分别在三条平行线上.（提示：借助旋转）【习11】作图研究：对△ABC，AD⊥BC于D，E是AB的中点，H是△ABC的垂心，F是CH的中点.过D、E、F作圆，说明你的发现.【习12】给出了三条相交且不互相垂直的直线，请作出所有的直线，使得整个图形成为轴对称图形.