2020学年-湖南省长沙市长郡中学-高一下学期入学考试数学试题(解析版)

第1页共17页2020学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期入学考试数学试题一、单选题1．已知}3{1A，，5{}34B，，，则集合AB（）A．3B．{4}5，C．15}2{4，，，D．{345}，，【答案】A【解析】由交集的定义直接求解即可.【详解】}3{1A，，5{}34B，，，3AB.故选：A.【点睛】本题考查交集的求法，属于基础题.2．已知函数31(0)()2(0)xaxfxxx，若((1))18ff，那么实数a的值是（）A．4B．1C．2D．3【答案】C【解析】先求出(1)4f，((1))18ff变成(4)18f，可得到4218a，解方程即可得解.【详解】(1)4f，((1))18ff变成(4)18f，即4218a，解之得：2a.故选：C.【点睛】本题考查已知函数值求参数的问题，考查分段函数的知识，考查计算能力，属于常考题.3．已知fx=22xx,若3fa,则2fa等于A．5B．7C．9D．11【答案】B第2页共17页【解析】因为fx=22xx,所以fa=223aa,则2fa=2222aa=2(22)2aa=7.选B.4．设是第三象限角，且coscos22，则2所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】先由是第三象限角，得出2可能在第二、四象限，进一步由coscos22再判断出2所在的象限.【详解】Q是第三象限角，3222kk，kZ，3224kk，kZ，2在第二、四象限，又coscos22，cos02，2在第二象限.故选：B.【点睛】本题考查由三角函数式的符号判断角所在象限的问题，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.5．下列各式中，值为32的是（）A．00sin15cos15B．22cossin1212C．001tan151tan15D．01cos302【答案】B【解析】A.00011sin15cos15sin3024第3页共17页B．223cossincos.121262C．001tan151tan150tan7523.D．001cos306-2cos15=24故答案为B.6．已知AD，BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，且ADa，BEb，则BC为（）A．4233abB．2433abC．2233abD．2433ba【答案】B【解析】易得22ABACADa，22BABCBEb，再由ACBCBA，可得222BCBAaBCBAb，解出BC即可.【详解】如图：因为AD，BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，所以有：22ABACADa，22BABCBEb，ACBCBA，整理得：222BCBAaBCBAb，解得：2433BCab.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理和加减法的几何意义，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.7．函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()fx为减函数，且()11f，若(2)1fx，则x的取值范围是（）第4页共17页A．(,3]B．(,1]C．[3,)D．[1,)【答案】A【解析】函数fx是定义在R上的奇函数，当0x时，fx为减函数，，故函数fx在R上单调递减，又11f，因此21fx(2)(1)213fxfxx.故选A.点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()fx在区间上单调递增，则1212,,()()xxDfxfx且时，有12xx，事实上，若12xx,则12()()fxfx，这与12()()fxfx矛盾，类似地，若()fx在区间上单调递减，则当1212,,()()xxDfxfx且时有12xx；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.8．已知点(0,1)A，(1,2)B，(2,1)C，(3,4)D，则向量AB在CD方向上的投影为（）A．322B．2C．322D．3152【答案】B【解析】1,1.5,5ABCD则向量AB在CD方向上的投影为10cos,252ABCDABABCDABABCD故选B9．函数ln|1|xyex的图像大致是（）A．B．第5页共17页C．D．【答案】D【解析】根据函数的形式和图象，分1x和01x两种情况去绝对值，判断选项.【详解】当1x时，ln111xyexxx，当01x时，lnln1111xxyexexxx只有D满足条件.故选：D【点睛】本题考查含绝对值图象的识别，属于基础题型.一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.10．正方形ABCD边长为2，中心为O，直线l经过中心O，交AB于M，交CD于N，P为平面上一点，且2(1),OPOBOC则PMPN的最小值是（）A．34B．1C．74D．2【答案】C【解析】由题意可得：222222114444PMPNPMPNPMPNPONOPONO,设2OPOQ，则1,11,,,OQOBOCQBC三点共线.当MN与BD重合时，NO最大，且2max2NO，据此：min17244PMPN第6页共17页本题选择C选项.11．2cos10tan20cos20（）A．1B．312C．3D．32【答案】C【解析】将所求关系式中的“切”化“弦”，再利用两角差的余弦化cos10cos(3020)，整理运算即可.【详解】2cos10tan20cos202cos10sin20cos20cos202cos(3020)sin20cos20cos202(cos30cos20sin30sin20)sin20cos20cos203cos20sin20sin20cos20cos20sin20sin203cos20cos203.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，切”化“弦”是关键，考查分析与运算能力，属于中档题.12．已知定义在R上的函数()fx满足()()0fxfx-+=，且22log(1)10()173122xxfxxxx，，，，，若关于x的方程()fxt（tR）恰有5个不同的实数根1x，2x，3x，4x，5x，则12345xxxxx的取值范围是（）第7页共17页A．(2,1)B．(1,1)C．(1,2)D．(2,3)【答案】B【解析】由分段函数的解析式作出(,0)的图象，由题意得出()fx为奇函数，根据函数关于原点对称作出(0,)的图象，由数形结合得出答案.【详解】由分段函数的解析式作出(,0)的图象，由题意得出()fx为奇函数，根据函数关于原点对称作出(0,)的图象，所以其图象如图：由图可知，若关于x的方程()fxt（tR）恰有5个不同的实数根，则(1,1)t,设12345xxxxx，则126xx，456xx，由图可知，3(1,1)x，所以123453(1,1)xxxxxx.故选：B.【点睛】本题考查奇偶函数图象的对称性，考查函数的零点，考查分析能力和数形结合思想，属于中档题.13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=212弦矢矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23，半径等于4米的弧田.下列说法不．正确的是（）A．“弦” 43AB米，“矢”2CD米第8页共17页B．按照经验公式计算所得弧田面积（432）平方米C．按照弓形的面积计算实际面积为（16233）平方米D．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据31.73，3.14)【答案】C【解析】运用解直角三角形可得AD，DO，可得弦、矢的值，以及弧田面积，运用扇形的面积公式和三角形的面积公式，可得实际面积，计算可得结论．【详解】解：如图，由题意可得∠AOB23，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD3，∠DAO6，OD12AO1422，可得矢＝4﹣2＝2，由AD＝AOsin343223，可得弦＝2AD＝43，所以弧田面积12（弦×矢+矢2）12（432+22）＝432平方米．实际面积2121164432432323，168320.9070.93．可得A，B，D正确；C错误．故选C．【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式的运用，考查三角函数的定义以及运算能力、推理能力，属于基础题．14．已知函数222222,228.fxxaxagxxaxa设12max,,min,,max,HxfxgxHxfxgxpq表示,pq中的较大值，min,pq表示,pq中的较小值，记1Hx得最小值为,A2Hx得最小值第9页共17页为B,则AB（）A．16B．16C．2216aaD．2216aa【答案】B【解析】试题分析：设228hxfxgxxa，由0hx得2xa，此时fxgx；由0hx得22xaxa或，此时fxgx；由0hx得22axa，此时fxgx；综上可知2xa时12,HxfxHxgx，当22axa时12,HxgxHxfx，当2xa时12,HxfxHxgx，所以244,2412AgaaBgaa16AB【考点】1．二次函数值域；2．分情况讨论15．定义一种新运算：,(){,()bababaab，已知函数24()(1)logfxxx，若函数()()gxfxk恰有两个零点，则k的取值范围为（）A．1,2B．(1,2)C．(0,2)D．(0,1)【答案】B【解析】试题分析：这类问题，首先要正确理解新运算，能通过新运算的定义把新运算转化为我们已经学过的知识，然后解决问题.本题中ab实质上就是取,ab中的最小值，因此()fx就是41x与2logx中的最小值，函数41yx在(0,)上是减函数，函数2logyx在(0,)上是增函数，且241log44，因此当(0,4)x时，24log1xx，(4,)x时，241logxx，因此2log,04,(){41,4xxfxxx，由函数的单调性知4x时()fx取得最大值(4)2f，又(0,4)x时，()fx是增函数，且200lim()limlogxxfxx，，又(4,)x时，()fx是减函数，且04lim()lim(1)1xxfxx.函数()()gxfxk恰有两个零点，说明函数()yfx的第10页共17页图象与直线yk有两个交点，从函数()fx的性质知12k.选B.【考点】函数的图象与性质.二、填空题16．已知函数()sin()fxx的图象如图所示，则(2)f_____．【答案】22【解析】根据周期求出，再根据五点法作图求得，可得函数的解析式，从而求得(2)f的