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两个向量的数量积教学过程一、几个概念1)两个向量的夹角的定义OABaabb夹角的顶点为两个向量的起点10,ab注意:()范围:(2),,abba(3),,2,0,ababababababab如果则称与互相垂直,并记作:;如果,则与同向,如果,则与反向2).异面直线(1)异面直线的定义________________________的两条直线叫做异面直线.(2)两条异面直线所成的角把异面直线________________________,这时两条直线的夹角(________________)叫做两条异面直线所成的角.如果所成的角是________,则称两条异面直线互相垂直.不同在任何一个平面内平移到一个平面内锐角或直角直角3)两个向量的数量积注意:①两个向量的数量积是数量,而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。babababababababaaaOAaOA,cos,,,cos,,,即记作:的数量积,叫做向量,则已知空间两个向量记作:的长度或模的长度叫做向量则有向线段设3cos,ababab()公式变形:向量夹角公式:数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。aba||aba||cosb二、.空间向量的数量积性质2221)cos,4)||||||2)03)aaaaeaaeaaababababa≤注意:①性质2)是证明两向量垂直的依据;②性质3)是求向量的长度(模)的依据;(3)性质5是求两个向量夹角的依据;对于非零向量,有:,ab5)cos,ababab三.空间向量的数量积满足的运算律注意:分配律))交换律)()(3()2)()()1cabacbaabbababa数量积不满足结合律)()abcabc(22222222212(2))(3)222abababababababcabcabbcca()()(()()结论:课堂练习2.222,,22abab已知,则ab与的夹角大小为_____.222221.10,00()2)()()()3)()()4)()5)()abababcabcpqpqababpqpqpq判断真假:)若则或1353.设a,b,c是任意的非零空间向量,且相互不共线,则:①(a·b)c(c·a)b=0②|a|-|b||ab|③(b·c)a(c·a)b不与c垂直④(3a+2b)·(3a2b)=9|a|2-4b2中,真命题是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④D例1.如图,在空间四边形ABCD中,2AB,3BC,23BD,3CD,30ABD,60ABC,求AB与CD的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆解:∵CDBDBC,∴ABCDABBDABBC||||cos,ABBDABBD||||cos,ABBCABBC223cos15023cos120633∴31cos,232||||ABCDABCDABCD,∴AB与CD的夹角的余弦值为12.数量积的应用(一)求线线角变式设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足则△BCD是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定0,0,0ABACABADACADC例2已知在平行六面体中,,,求对角线的长。ABCDABCD4AB3,5,90,60ADAABADBAADAAACADCB数量积的应用(二)求线段长度||85AC例3如图,已知线段在平面内,线段,线段,线段,,如果,求、之间的距离。ACBDABDD30DBD,ABaACBDbCDAB解:由,可知.由知.ACACAB30DBD,120CABD22222222222||()||||||2222cos120CDCDCDCAABBDCAABBDCAABCABDABBDbabbab22CDabbabCABD'D课堂练习ABA1C1B1C1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为()A.B.C.D.2105759060B2.已知向量,ab满足1,2,3abab,则ab_____.13.已知2a,3b,且a与b的夹角为2,32cab,dmab,求当m为何值时cd。5.已知a和b是非零向量,且a=b=ab,求a与ab的夹角。30°7.已知4a,2b,且a和b不共线,求使ab与ab的夹角是锐角时的取值范围。(-2,2)4.已知2ab,且a与b的夹角为3,则ab在a上的投影为。OACB()||||cos||||cos||||cos证明:因为OABCOAOCOBOAOCOAOBOAOCOAOBOAOB||||cos0OAOBOABCOABCOBOCAOBAOCOABC例4、已知空间四边形,,,求证:数量积的应用(三)证明垂直∵在正方体AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1证明:CBA1B1C1ADD1同理可证,A1C⊥B1D1由三垂线定理知A1C⊥BC1111111ACACBCACBD练:在正方体中,求证:,CBA1B1C1ADD1结论:正方体的对角线与每个面中与之为异面直线的对角线垂直小结:到目前为止,我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下几类问题:1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离或线段长度。3、求两直线所成角的余弦值等等。
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